一轮复习大题专练31—数列（恒成立问题）-2022届高三数学一轮复习

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（1）求的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．
解：（1）由，可得，
即有，
即数列是首项为，公比为3的等比数列，
则，
则；
（2），
则，
，
两式相减可得
，
所以，
由恒成立，可得，
则最小的整数为4．
2．若数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，所以，
当，时，
所以，
所以数列为等比数列，首项为，公比为2，
所以；
（2）解：因为，所以，
因恒成立，
所以恒成立，
当为偶数时，恒成立，所以，
设，由于，
所以，当时，，
所以，
当为奇数时，，若，则有，
若，则有，
令，由于，
所以，
综上，，即实数的取值范围是，．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣，且4Sn+1＝3Sn﹣9（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足3bn+（n﹣4）an＝0（n∈N*），记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，
求实数λ的取值范围．
解：（Ⅰ）由4Sn+1＝3Sn−9 可得4Sn＝3Sn−1−9（n≥2），
两式作差，可得：4an+1＝3an，
∴，
很明显，，
所以数列{an} 是以 为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：．
（Ⅱ）由3bn+（n−4）an＝0，得，
，
，
两式作差可得：
＝
＝，
则．
据此可得 恒成立，即λ（n−4）+3n≥0 恒成立．
n＝4时不等式成立；
n＜4时，，由于n＝1时，故λ≤1；
n＞4时，，而，故：λ≥−3；
综上可得，{λ|−3≤λ≤1}．
所以．
4．已知等差数列满足，，其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求；
（3）设，的前项和为，求证：恒成立，求实数的最大值．
解：（1）数列的首项为，公差为的等差数列，数列满足，，
整理得：，解得，
所以．
递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
所以，解得或舍去），
故，
（2）由（1）得：令，
所以①，
②，
①②得：，
故．
（3）由于，
所以，
由于恒成立，
即恒成立，
故，
由于函数为增函数，故，
所以．
5．已知数列满足，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．
解：（1）数列满足，且，，
整理得：，，
故猜想，
证明如下：
（1）当时，显然成立；
（2）当时，，
当时，，
即当时，猜想成立，
所以．
（2）由题意得对，恒成立，
记，
则．
，
，即是随的增大而增大，
的最小值为，，
所以．
6．已知数列的前项和满足且．数列满足．
（1）当时，求数列的前项和；
（2）若对一切都有，求的取值范围．
解：（1）数列的前项和满足①，
当时，解得．
当时，②，
①②得：，整理得（常数），
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
数列满足，
当时，，
所以①，
②，
①②，整理得，
解得．
（2）由，可得，
①当时，由，可得，，所以，
所以对一切的都成立，此时的解为；
②当时，由可得，
所以，
，，所以对一切都成立，
所以．
由①，②可知，对一切，都有的的取值范围是，，．