上海市奉贤中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案

2020--2021学年上海市奉贤区奉贤中学高一下学期期中试卷

一、填空题

1.已知向量,则向量的坐标是______________

2. 函数的最小正周期是__________.

3.一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是3，则此扇形的面积是           

4.设，，且，则___________

5.函数在的单调增区间是__________

6. 在直角坐标系中中，分别是与轴、轴正方向上的单位向量，若直角三角形中，，则的可能值为____________.

7.已知函数和函数的图像交于三点，则的面积为         

8.已知，，，的夹角为，则 在方向上的数量投影为__________

9.函数在区间上的最小值是，则的最大值为__________

10.已知函数，下列说法正确的是        

①图像关于对称

②的最小正周期为

③在区间上是严格减函数

④图像关于中心对称

11. 当时，记。已知，则的图像与轴围成的图形的面积为__________.

12.如图，在锐角中，，且是常数。是的外心，于，于，于，设,则______________

二、选择题

13.要得到函数的图像，只要把函数的图像（  ）

【A】向左平移个单位

【B】向右平移个单位

【C】向左平移个单位

【D】向右平移个单位

14. 已知，将角的终边逆时针旋转，所得的角的终边交单位圆于，则的值为（    ）

【A】

【B】

【C】

【D】

15.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（     ）

【A】

【B】

【C】

【D】

16.已知，且是常数，且，则（    ）

【A】

【B】

【C】

【D】

三、解答题

17.化简：

（1）

（2）

18.设平面上有两个向量

（1）求证：向量与垂直

（2）当向量与的模相等时，求的大小

19.甲船在距离港口12海里并在南偏西方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里。乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行至处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？

20. 函数，在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且与为正三角形。

(1)求函数的解析式；

(2)若，且，求的值

(3) 若的最小值为，求的值

21. ，其中是常数，且；

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）若，求关于的方程所有解的和；

（3）是否可能为常值函数？如果可能，求出为常值函数时的值；如果不可能，请说明理由。

2020--2021学年上海市奉贤区奉贤中学高一下学期期中试卷

一、填空题

1.已知向量,则向量的坐标是______________

【答案】

【解析】

2. 函数的最小正周期是__________.

【答案】2

【解析】

3.一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是3，则此扇形的面积是           

【答案】

【解析】

由扇形面积公式可得，

4.设，，且，则___________

【答案】

【解析】

因为，可得，即，

所以，

5.函数在的单调增区间是__________

【答案】

【解析】首先把函数的关系式通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果

6. 在直角坐标系中中，分别是与轴、轴正方向上的单位向量，若直角三角形中，，则的可能值为____________.

【答案】或

【解析】若为直角，则；若为直角，则；若为直角，则无解.

7.已知函数和函数的图像交于三点，则的面积为         

【答案】

【解析】

由函数和函数的图象交于三点，可得，令，可得，，，

所以,

8.已知，，，的夹角为，则 在方向上的数量投影为__________

【答案】2

【解析】由已知得，在方向上的数量投影为

因为，，，的夹角为，所以数量投影为2。

9.函数在区间上的最小值是，则的最大值为__________

【答案】

【解析】

因为函数

若在区间上的最小值为

则由

解得

又因为

所以

10.已知函数，下列说法正确的是        

①图像关于对称

②的最小正周期为

③在区间上是严格减函数

④图像关于中心对称

【答案】②④

【解析】

函数，由，可得为偶函数，，可得①错；，②正确；在区间上严格减函数，③错误。因为，所以图象关于中心对称，④正确。

11. 当时，记。已知，则的图像与轴围成的图形的面积为__________.

【答案】.

【解析】根据题意可得，

12.如图，在锐角中，，且是常数。是的外心，于，于，于，设,则______________

【答案】

【解析】链接,设

可得

同理可得

所以

二、选择题

13.要得到函数的图像，只要把函数的图像（  ）

【A】向左平移个单位

【B】向右平移个单位

【C】向左平移个单位

【D】向右平移个单位

【答案】C

【解析】，根据平移规律：左加右减可得答案

14. 已知，将角的终边逆时针旋转，所得的角的终边交单位圆于，则的值为（    ）

【A】

【B】

【C】

【D】

【答案】

【解析】根据题意易求，，

15.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（     ）

【A】

【B】

【C】

【D】

【答案】D

【解析】

根据奔驰定理可得,所以

16.已知，且是常数，且，则（    ）

【A】

【B】

【C】

【D】

【答案】C

【解析】

令，可知在上严格单调函数，且为奇函数，

，等价于，所以，所以

三、解答题

17.化简：

（1）

（2）

【答案】：（1）

（2）

【解析】：（1）

（2）原式=

18.设平面上有两个向量

（1）求证：向量与垂直

（2）当向量与的模相等时，求的大小

【答案】：（1）见解析

（2）

【解析】：（1）

所以垂直

（2）

若，所以

19.甲船在距离港口12海里并在南偏西方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里。乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行至处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？

【答案】，

【解析】

中，由正弦定理得，

所以

由知为锐角，

所以

中，由余弦定理得，

由余弦定理得，

，

所以

所以甲，乙两船相距海里，甲在乙的北偏西方向。

20. 函数，在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且与为正三角形。

(1)求函数的解析式；

(2)若，且，求的值

(3) 若的最小值为，求的值

【答案】

（1）

(2)

(3)

【解析】

（1）          函数

（2）         

由于为正三角形，所以三角形的高，所以

所以函数的最小正周期为，所以

从而得到

（2）若，则，整理得，

     由于，所以所以，

     所以

(3) 的值域为，

令,则，所以转化为，对称轴，

当 ，即时，，

解得（舍）；

当 ，即时，，

解得（舍）；

当，即时，

解得

综上可得

21. ，其中是常数，且；

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）若，求关于的方程所有解的和；

（3）是否可能为常值函数？如果可能，求出为常值函数时的值；如果不可能，请说明理由。

【答案】（1）   （2）          （3）

【解析】（1）

所有，所以

（2）

（3）

若是常值函数，则=0，=0

由=0，得或

当时，，所以不成立

当时，