河北省保定市第三中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案

保定三中2020～2021学年度第二学期期中考试

高一数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

3．本卷命题范围：必修第二册第六章～第八章．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法正确的是（    ）

A．不在同一条直线上的三点确定一个平面      B．四边形一定是平面图形

C．梯形不一定是平面图形                    D．平面和平面一定有交线

2．如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（    ）

A．12      B．11      C．10      D．9

3．以下哪个条件能判断直线l与平面垂直（    ）

A．直线l与平面内无数条直线垂直        B．直线l与平面内两条直线垂直

C．直线l与平面内两条相交直线垂直      D．直线l与平面内两条平行直线垂直

4．已知向量，且，则（    ）

A．      B．      C．      D．

5．已知复数z满足，则（    ）

A．      B．      C．      D．

6．设、、是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：

①若，则  ②若，则  ③若，则

其中正确命题的个数是（    ）

A．0      B．1      C．2      D．3

7．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，E为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）

A．      B．      C．      D．

8．在面积为S的中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，则（    ）

A．      B．      C．      D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法不正确的是（    ）

A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相

B．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥

C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体

D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥

10．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ）

A．      B．      C．      D．

11．已知复数的实部与虚部相等，则（    ）

A．      B．      C．      D．

12．如图，M是正方体的棱的中点，下列命题中真命题是（    ）

A．过M点有且只有一条直线与直线、都相交

B．过M点有且只有一条直线与直线、都垂直

C．过M点有且只有一个平面与直线、都相交

D．过M点有且只有一个平面与直线、都平行

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．底面直径和母线长都是的圆柱的表面积为________．

14．_________．

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则________，________．（本题第一空2分，第二空3分）

16．在等边三角形中，D为边上的点，且，若，则k的取值范围为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知复数满足（i为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数，求复数．

18．（本小题满分12分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

（1）求A的值；

（2）若的面积为，周长为25，求a．

19．（本小题满分12分）

如图，与均为平行四边形，M，N，G分别是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

20．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

21．（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，，E，F分别是的中点，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求与底面所成角的正切值．

22．（本小题满分12分）

如图，在四边形中，．

（1）求四边形的面积；

（2）求的值；

（3）若点P为线段（包括端点）上的一个动点，求的最大值．

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参考答案、提示及评分细则

1．A

2．A  在中，，由，可得的周长为12．

3．C

4．D  因为，所以．因为，所以，解得．

5．B  由，得，所以．

6．B  ②正确，①③错误．

7．C  连相交于点O，连、，因为E为的中点，O为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设，可得，，因为，O为的中点，所以，．

8．D  由，有，有，有，有，又由，有，有，有，有，有．

9．ABC  圆柱的底面半径可能与母线长相等，故A项不正确；把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥，故B项错误；认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，当底面为梯形时，侧面都是矩形的直四棱柱不是长方体，故C项错误；任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故D项正确．

10．AC  由平面向量知：

在A中，，∴，故A正确；

在B中，，故B错误；

在C中，，∴，∴，故C正确；

在D中，∵，∴与不平行，故D错误．

11．ACD  ∵，

∴，解得，则，．

12．ABD  若过点M有两条直线与直线、都相交，则、是共面直线，又分别延长线段至P，延长至Q．使得、，则直线是过点M的直线，所以A项正确．B项显然正确．C项中应该有无数个平面与、同时相交．只有过M点且过棱，，中点的平面与直线、平行，所以D项正确．

13．  表面积为．

14．

15．    在中，∵，∴，∵，∴．∴．

由正弦定理知，∴．

16．  设三角形的边长为m，，所以，因为，所以．所以，即．因为点D在边上，所以，所以．

17．解：∵，

∴，            2分

设，            4分

则，            6分

又∵是实数，∴，            8分

∴．            10分

18．解：（1）由正弦定理有      1分

有            3分

有，有            分

有，

由，有．            6分

（2）由（1）有，可得            8分

又由，有            9分

可得，得            11分

由，有，得．            12分

19．证明：（1）连接，则必过与的交点O，连接，则为的中位线，所以，            3分

又平面，平面，

所以平面            5分．

（2）因为N，G分别为平行四边形的边的中点，

所以，

又平面，平面，所以平面．            7分

又M为的中点，

所以为的中位线，所以，

又平面，平面，            9分

所以平面，

又平面平面，

所以平面平面．            12分

20．解：（1）证明：∵底面为直角梯形，

∴

∴            2分

∵直四棱柱

∴底面

∵平面

∴            4分

∵平面

∴平面            6分

（2）在中，

在中，

            8分

设到平面的距离为d

在中，

在中，

            10分

由，有，解得

故点到平面的距离为．            12分

21．解：（1）∵，四边形为菱形

∴，．            2分

如图，连相交于点O，连

∵，∴            4分

∵平面，∴平面，且

∴            6分

（2）∵平面，∴与底面形成的角为      8分

∴            10分

∴

故与底面所成角的正切值为．            12分

22．解：（1）由条件，得，

∴，则

，            2分

∵，∴，

∴，

∴，

∴，

∴．            3分

∵，

∴，

∴四边形的面积

．            5分

（2）在中，

，            7分

∴，∴．            9分

（3）由（1）可知，建立如图所示平面直角坐标系，

易知

∵点P在线段上，∴设，

∴

∴            11分

当时，有最大值．            12分