初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试导学案

这是一份初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试导学案，共9页。
 一  元  二  次  方  程一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   ） A                 B    C        D   变式：当k           时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为            。针对练习：★1、方程的一次项系数是          ，常数项是          。★2、若方程是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是      。★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（     ）A.m=n=2       B.m=2,n=1       C.n=2,m=1       D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、已知的值为2，则的值为          。 例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为        。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为        。针对练习：★1、已知方程的一根是2，则k为         ，另一根是          。★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值；  ⑵方程的另一个解。     ★3、已知m是方程的一个根，则代数式         。★★4、已知是的根，则          。★★5、方程的一个根为（   ） A           B  1           C            D   考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：        =0;            例2、若，则x的值为         。针对练习：下列方程无解的是（    ）A.    B.     C.    D. 类型二、因式分解法:※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如， ，典型例题：例1、的根为（    ） A         B           C        D  例2、若，则4x+y的值为          。变式1：           。变式2：若，则x+y的值为           。例3、方程的解为（     ）A.  B.  C.  D.例4、解方程：      例5、已知,则的值为          。     针对练习：★1、下列说法中：①方程的二根为，，则② .③④ ⑤方程可变形为正确的有（   ）A.1个       B.2个      C.3个        D.4个★2、以与为根的一元二次方程是（）A．         B．C．        D．★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：           ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：               ★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（       ）A、-1或-2       B、-1或2        C、1或-2       D、1或25、方程：的解是         。   ★★★6、已知，且，，求的值。     类型三、配方法※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、          试用配方法说明的值恒大于0。    例2、          已知x、y为实数，求代数式的最小值。        针对练习：★★1、试用配方法说明的值恒小于0。★★2、已知，则        .★★★3、若，则t的最大值为        ，最小值为       。类型四、公式法⑴条件：⑵公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴         ⑵     ⑶          ⑷            例2、在实数范围内分解因式：（1）；   （2）.    ⑶说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值；        ⑵解二元二次方程组。典型例题：例1、          已知，求代数式的值。  例2、如果，那么代数式的值。     例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是      。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是(    )A.       B.      C.        D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。   例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.      针对练习：★1、当k          时，关于x的二次三项式是完全平方式。★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是         .★★5、当取何值时，方程的根与均为有理数？      考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程⑴有两个实数根，则m为          ,⑵只有一个根，则m为          。 例2、          不解方程，判断关于x的方程根的情况。      考点六、应用解答题⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？ 2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？ 3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）       4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？       5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？      考点七、根与系数的关系⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。⑵主要内容：⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（  ）   A.         B.3       C.6         D.例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。      例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例4、已知，，，求         变式：若，，则的值为          。例5、已知是方程的两个根，那么          .针对练习：1、解方程组2．已知，，求的值。3、已知是方程的两实数根，求的值。