初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程巩固练习

§23.3.2 一元二次方程根的判别式，根与系数关系

◆回顾归纳

1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，常用符号“△”表示，即△=______；△>0时，方程_____；△=0时，方程______；△<0时，方程______．

2．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则x1+x2=____，x1x2=____．

◆课堂测控

1．（1）一元二次方程3x2+4x+1=0中，△=_____，因此该方程_____实数根．

  （2）一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则a=_____．

2．若方程x2－2x－1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=______．

3．一元二次方程x2+x－2=0的根的情况是（  ）

    A．有两个相等的实数根    B．有两个不相等的实数根

    C．没有实数根            D．有一个实数根

4．设一元二次方程x2－6x+4=0的两实根分别为x1和x2，则x1+x2=_____，x1·x2=______．

5．等腰三角形ABC中，BC=8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，求m的值．

    解：当AB或AC的长为8时，64－10×8+m=0，∴m=_____；

当AB=AC时，方程x2－10x+m=0有两个相等的实数根，则△=0，即______，∴m=____．

测试点2  一元二次方程根与系数的关系

6．一元二次方程x2－5x+6=0的一个实数根x1=2，则另一个实数根x2=（ ）

    A．3          B．－3         C．6            D．－6

7．设一元二次方程x2－2x－4=0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（  ）

    A．x1+x2=2    B．x1+x2=－4    C．x1x2=－2     D．x1x2=4

8．已知x=－1是一元二次方程x2+mx+1=0的一个根，那么m的值是（  ）

    A．0          B．1           C．2            D．－2

9．已知x1，x2是方程x2+3x=4的两根，则（  ）

    A．x1+x2=－3，x1·x2=－4      B．x1+x2=3，x1·x2=4

    C．x1+x2=－3，x1·x2=4        D．x1+x2=3，x1·x2=－4

10．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=－，x1·x2=．根据该材料填空：

    （1）已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则的值为_____．

    （2）已知x1，x2是方程x2－9x+18=0的两个根，那么x1－x2=_______．

◆课后测控

1．若关于x的一元二次方程x2+2x－k=0没有实数根，则k的取值范围是_____．

2．在解方程x2+bx+c=0时，甲看错了b，解得两根为－1和6；乙看错了c，解得两根为－3与4，那么正确的方程是______．

3．已知一个等腰三角形两边长为方程x2－6x+8=0的两根，则此等腰三角形的周长为_____．

4．若关于x的方程x2－（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m=_____．

5．方程x（x+1）=3（x+1）的解情况是______．

6．关于x的一元二次方程kx2－6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．

7．已知关于x的方程x2－2ax+a2－2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_____．

8．已知一元二次方程x2+3x+1=0的两根为x1和x2，那么（1+x1）（1+x2）的值为______．

9．如果一元二次方程3x2－2x=0的两个根是x1和x2，那么x1·x2等于（  ）

    A．2         B．0         C．        D．－

10．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（  ）

    A．x2+5x+6=0      B．x2－5x+6=0    C．x2－5x－6=0       D．x2+5x－6=0

11．如果关于x的方程2x2－7x+m=0的两实数根互为倒数，那么m的值为（  ）

    A．      B．－        C．2        D．－2

12．若关于x的方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）

    A．k>－1     B．k<－1     C．k≥－1且k≠0    D．k>－1且k≠0

13．已知关于x的一元二次方程x2－mx+2m－1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是（  ）

    A．5       B．－1      C．5或－1       D．－5或1

14．关于x的一元二次方程x2－5x+p2－2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（  ）

    A．4        B．0或2       C．1        D．－1

15．已知关于x的方程x2－m=2x有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足=1，求m的值．

17．若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．

18．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+4=0两实根的平方和为2，求m的值．

    解：设方程的两个实根为x1，x2，

    那么x1+x2=m+1，x1x2=m+4．

    ∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2

    =（m+1）2－2（m+4）=m2－7=2．

    即m2=9，解得m=3．

    答：错误或不完整之处有：__________．

◆拓展创新

    实数k取何值时，一元二次方程x2－（2k－3）x+2k－4=0．

    （1）有两个正根；

    （2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；

    （3）一根大于3，一根小于3．

参考答案

回顾归纳

1．b2－4ac  有两个不相等的实数根  有两个相等的实数根  没有实数根  2．－ 

课堂测控

1．（1）4  有两个不等  （2）1  2．2

3．B  4．6  4  5．16  100－4m=0  25

6．A  7．A  8．C  9．A  10．（1）10  （2）±3

课后测控

1．k<－1（点拨：△=4+4k<0得k<－1）

2．x2－x－6=0（点拨：甲看错了b，∴c=－1×6=－6；乙看错了c，

∴b=－（－3+4）=－1，∴x2－x－6=0）

3．10（点拨：x2－6x+8=0，∴x1=2，x2=4，当腰长为4时，周长为4+4+2=10，当腰长为2时，底为4，这与三角形三边关系矛盾）

4．±1  5．有两个不相等实根

6．k<9，且k≠0（点拨：△=36－4k>0，∴k<9，且k≠0）

7．1（点拨：x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=4a2－2（a2－2a+2）=2a2+4a－4=2．

∴a=1或a=－3；当a=1时，x1=x2=1；当a=－3时，x2+6x+17=0，△=36－4×17=－32<0）

8．－1  9．B  10．B  11．C

12．D（点拨：△=4+4k>0，∴k>－1且k≠0）

13．B  14．C

15．原方程整理得x2－2x－m=0，△=4+4m>0，

    ∴m>－1．

16．△=（2m－3）2－4m2=4m2+9－12m－4m2>0，

    ∴m<，又=1．

    即m2+2m－3=0，解之得m1=－3，m2=1（舍去）．

17．当x=0时，m=2或－4．

    当m=2时，方程只有一个解为0；

    当m=－4时，方程有两个解为0和．

    ∴原方程的解为0和．

18．①x1+x2=m+1，②m=3，③没有用判别式判定方程有无实根．

    解：设方程的两实根为x1，x2，则

    x1+x2=－（m+1），x1x2=m+4．

    ∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=（m+1）2－2（m+4）

    =m2+2m+1－2m－8=m2－7=2．

    解之得m=±3．当m=3时，△=16－28=－12<0．

    ∴方程无实数根．

    当m=－3时，△=4－4=0，∴m=－3．

拓展创新

   （1）∵方程有两个正根，且x1=1>0，

    ∴x2=2k－4>0，即k>2．

∴当k>2时，方程有两个正根．

（2）∵方程有两个异号根，且正根的绝对值较大，而x=1>0，

∴即

    解之得<k<2．

    ∴当<k<2时，两根异号，且正根的绝对值较大．

   （3）∵方程一根大于3，一根小于3，且x1=1<3．

    ∴x2=2k－4<3，∴k>．

    ∴当k>时，方程一根大于3，另一根小于3．