2020-2021学年江西省赣州市某校初二（上）期末考试数学试卷

这是一份2020-2021学年江西省赣州市某校初二（上）期末考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.

2. 下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A.a2+1B.x2+5yC.x2−5yD.a2−6a+9

3. 满足下列条件的三条线段a，b，c能构成三角形的是( )
A.a:b:c=1:2:3B.a+b=4，a+b+c=9
C.a=3，b=4，c=5D.a:b:c=1:1:2

4. 下列式子运算结果为x+1的是( )
A.1−1xB.x2+2x+1x+1C.x+1x÷1x−1D.x2−1x⋅xx2+1

5. 如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=125∘，∠A=75∘，则∠B的度数为( )

A.30∘B.36∘C.45∘D.50∘

6. 如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS=AR； ③QP // AR； ④△BRP≅△QSP．其中，正确的有( )

A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题

1. 世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000006米的晶体管，该数用科学记数法表示为________米．

2. 点P(2, −3)关于直线y=1的对称点的坐标是________．

3. 计算：832+83×34+172=________．

4. 若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为________.

5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A0,5，B2,0，在第一象限内的点C，使△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为________．

三、解答题

1.
(1)计算： 2x23y2⋅5y7x÷10y21x2 ；

(2)因式分解： 4a−2b2−1.

2. 化简求值：[(x+12y)2+(x−12y)2](2x2−12y2)，其中x=−3，y=4．

3. 解方程xx−1−1=3x2−1.

4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4, 0)，点B的坐标是(2, 3)，点C的坐标是(0, 3)．

(1)作出四边形OABC关于y轴对称的图形，并写出点B对应点的坐标；

(2)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小．（不要求写作法，保留作图痕迹）

5. 知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，试判断△ABC的形状.

6. 如图，点P在∠AOB内，点M，N分别是P点关于OA，OB的对称点，且MN交OA，OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．


7. 如图，点E是BC边上的点，BM // NC，BM=NC．试判断点E是否为线段BC的中点，并说明理由．


8. 如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E分别为AB，BC上的点，∠CDE=∠A，若BC=BD，求证：CD=DE.


9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．求证：DE=DF，DE⊥DF.


10. 甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天.
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？

11. 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，则AC=12AB.
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
(1)如图(1)，作AB边上的中线CE，得到结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为________．

(2)如图(2)，CE是△ABC的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接BP．试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)中条件的基础上，线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市某校初二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
轴对称图形
【解析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
根据轴对称图形的定义得，C选项图形是轴对称图形.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
因式分解-运用公式法
【解析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】
解：A，B，C都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，
故A，B，C不能因式分解；
D是完全平方公式的形式，a2−6a+9=(a−3)2，
故D能因式分解.
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
三角形三边关系
【解析】
根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断即可．
【解答】
解：A，设a，b，c分别为x，2x，3x，则有a+b=c，不符合三角形任意两边之和大于第三边，故错误；
B，当a+b=4时，c=5，4<5，不符合三角形任意两边之和大于第三边，故错误；
C，当a=3，b=4，c=5时，3+4>5，故正确；
D，设a，b，c分别为x，x，2x，则有a+b=c，不符合三角形任意两边之和大于第三边，故错误．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
分式的加减运算
分式的乘除运算
【解析】
对各个选项中的式子进行化简即可解答本题．
【解答】
解：选项A，1−1x=x−1x，故选项A不符合题意；
选项B，x2+2x+1x+1=(x+1)2x+1=x+1，故选项B符合题意；
选项C，x+1x÷1x−1=x+1x⋅x−11=x2−1x，故选项C不符合题意；
选项D，x2−1x⋅xx2+1=x2−1x2+1，故选项D不符合题意.
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
三角形的外角性质
【解析】
根据三角形的内角与外角之间的关系解答即可．
【解答】
解：∵ ∠ACD=125∘，∠A=75∘，
∴ ∠B=∠ACD−∠A
=125∘−75∘
=50∘．
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
平行线的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ △ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴ P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，PR=PS，
∴ Rt△BPR≅Rt△CPS(HL)，
∴ BR=CS，
∴ AR=AS，故②正确；
∵ AQ=PQ，
∴ ∠PQC=2∠PAC=60∘=∠BAC，
∴ PQ // AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴ △PQS≅△PCS，
又由②可知，△BRP≅△QSP，故④正确，
综上，①②③④都正确，共4个.
故选A．
二、填空题
1.
【答案】
6×10−9
【考点】
科学记数法--表示较小的数
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.000000006=6×10−9．
故答案为：6×10−9.
2.
【答案】
(2, 5)
【考点】
坐标与图形变化-对称
【解析】
点P(2, −3)关于直线y=1对称的点与点P的连线平行于y轴，因而横坐标与P的横坐标相同，纵坐标与−3的平均数是1，因而纵坐标是5．
【解答】
解：点P(2, −3)关于直线y=1对称的点的坐标是(2, 5)．
故答案为：(2, 5)．
3.
【答案】
10000
【考点】
完全平方公式
【解析】
把34写成2×17，然后根据完全平方公式计算．
【解答】
解：832+83×34+172
=832+2×83×17+172
=(83+17)2
=1002
=10000．
故答案为：10000．
4.
【答案】
14
【考点】
平方差公式
【解析】
根据整式的混合运算，用到的知识点有平方差公式
【解答】
解：∵ a2−b2=a+ba−b=−116，a+b=−14，
∴ a−b=14.
故答案为：14．
5.
【答案】
7,2或5,7
【考点】
坐标与图形性质
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
【解析】
分别从当∠ABC=90∘ ，AB=BC时，当∠BAC=90∘ ，AB=AC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．
【解答】
解：如图1，
当∠ABC=90∘，AB=BC时，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∴ ∠CDB=∠AOB=90∘，
∵ ∠OAB+∠ABO=90∘，∠ABO+∠CBD=90∘，
∴ ∠OAB=∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
∠AOB=∠BDC，∠OAB=∠CBD，AB=BC，
∴ △AOB≅△BDCAAS，
∴ BD=OA=5，CD=OB=2，
∴ OD=OB+BD=7，
∴ 点C的坐标为7,2；
如图2，
当∠BAC=90∘，AB=AC时，
过点C作CD⊥y轴于点D，
同理可证得：△OAB≅△DCA，
∴ AD=OB=2，CD=OA=5，
∴ OD=OA+AD=7，
∴ 点C的坐标为5,7.
综上所述，点C的坐标为7,2或5,7.
故答案为：7,2或5,7.
三、解答题
1.
【答案】
解：(1)原式=2x23y2⋅5y7x⋅21x210y
=x3y2.
(2)原式=[2(a−2b)]2−1
=[2a−2b+1][2a−2b−1]
=2a−4b+12a−4b−1.
【考点】
分式的乘除运算
因式分解-运用公式法
【解析】
(1)根据分式乘除法的运算法则，把除法转化为乘法，约分即可.
(2)利用平方差公式分解因式即可.
【解答】
解：(1)原式=2x23y2⋅5y7x⋅21x210y
=x3y2.
(2)原式=[2(a−2b)]2−1
=[2a−2b+1][2a−2b−1]
=2a−4b+12a−4b−1.
2.
【答案】
解：原式=(x2+xy+14y2+x2−xy+14y2)(2x2−12y2)
=(2x2+12y2)(2x2−12y2)
=4x4−14y4，
把x=−3，y=4代入，
原式=4×(−3)4−14×44
=324−64
=260.
【考点】
整式的混合运算——化简求值
【解析】
（1）去括号化简，再把值代入即可．
【解答】
解：原式=(x2+xy+14y2+x2−xy+14y2)(2x2−12y2)
=(2x2+12y2)(2x2−12y2)
=4x4−14y4，
把x=−3，y=4代入，
原式=4×(−3)4−14×44
=324−64
=260.
3.
【答案】
解：方程两边乘x−1x+1，
得xx+1−x−1x+1=3，
解得x=2.
检验：当x=2时， x−1x+1≠0，
所以，原分式方程的解为x=2.
【考点】
解分式方程——可化为一元一次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：方程两边乘x−1x+1，
得xx+1−x−1x+1=3，
解得x=2.
检验：当x=2时， x−1x+1≠0，
所以，原分式方程的解为x=2.
4.
【答案】
解：(1)四边形OABC关于y轴对称的图形为四边形OA′B′C，如图所示，
因为点B的坐标是(2, 3)，点B的对应点为B′，
所以点B的对应点的坐标为(−2, 3).
(2)连接AB′与y轴交于点P，点P即为使PA+PB的值最小的点．
【考点】
作图-轴对称变换
关于x轴、y轴对称的点的坐标
轴对称——最短路线问题
【解析】
（1）延长BC至B′，使B′C=BC，在x轴负半轴上截取OA′，使OA′=OA，然后顺次连接A′B′CO即可，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等写出点B的对应点的坐标；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接AB′与y轴的交点即为点P．
【解答】
解：(1)四边形OABC关于y轴对称的图形为四边形OA′B′C，如图所示，
因为点B的坐标是(2, 3)，点B的对应点为B′，
所以点B的对应点的坐标为(−2, 3).
(2)连接AB′与y轴交于点P，点P即为使PA+PB的值最小的点．
5.
【答案】
解：∵ a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，
∴ 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，
即(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(a2−2ac+c2)=0，
∴ (a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0,
∴ a−b=0，b−c=0，a−c=0，
即a=b=c，
∴ △ABC是等边三角形.
【考点】
等边三角形的判定
完全平方公式
非负数的性质：偶次方
【解析】
本题主要考查了等式和等边三角形的判定的相关知识点，需要掌握等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60∘的等腰三角形是等边三角形才能正确解答此题．
【解答】
解：∵ a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，
∴ 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，
即(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(a2−2ac+c2)=0，
∴ (a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0,
∴ a−b=0，b−c=0，a−c=0，
即a=b=c，
∴ △ABC是等边三角形.
6.
【答案】
解：∵ 点M是P点关于OA的对称点，
∴ EP=EM，
∵ N是P点关于OB的对称点，
∴ FP=FN，
∵ △PEF的周长为20，
∴ EP+EF+FP=20，
∴ MN=EM+EF+FN=20．
【考点】
轴对称的性质
【解析】
根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长，再根据△PEF的周长为20，即可得出MN的长．
【解答】
解：∵ 点M是P点关于OA的对称点，
∴ EP=EM，
∵ N是P点关于OB的对称点，
∴ FP=FN，
∵ △PEF的周长为20，
∴ EP+EF+FP=20，
∴ MN=EM+EF+FN=20．
7.
【答案】
解：点E是线段BC的中点.
理由是：∵ BM // NC，
∴ ∠M=∠CNE，
在△BME和△CNE中，
∠M=∠CNE,∠BEM=∠CEN,BM=CN,
∴ △BME≅△CNE(AAS)，
∴ BE=CE，
即点E为线段BC中点．
【考点】
全等三角形的性质与判定
平行线的性质
【解析】
根据平行线性质求出∠M=∠CNE，根据AAS推出△BME≅△CNE即可．
【解答】
解：点E是线段BC的中点.
理由是：∵ BM // NC，
∴ ∠M=∠CNE，
在△BME和△CNE中，
∠M=∠CNE,∠BEM=∠CEN,BM=CN,
∴ △BME≅△CNE(AAS)，
∴ BE=CE，
即点E为线段BC中点．
8.
【答案】
证明：∵ ∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，
∠CDE=∠A，
∴ ∠ACD=∠BDE.
∵ AC=CB，BC=BD，
∴ ∠A=∠B，AC=BD.
在△ACD和△BDE中，
∵ ∠A=∠B，AC=BD，∠ACD=∠BDE，
∴ △ACD≅△BDE(ASA)，
∴ CD=DE.
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
暂无
【解答】
证明：∵ ∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，
∠CDE=∠A，
∴ ∠ACD=∠BDE.
∵ AC=CB，BC=BD，
∴ ∠A=∠B，AC=BD.
在△ACD和△BDE中，
∵ ∠A=∠B，AC=BD，∠ACD=∠BDE，
∴ △ACD≅△BDE(ASA)，
∴ CD=DE.
9.
【答案】
证明：如图，连接CD，
∵ AC=BC，∠ACB=90∘，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45∘.
∵ D为AB中点，
∴ AD=BD，CD平分∠ACB，CD⊥AB,
∴ ∠DCF=45∘，
∴ AD=BD=CD，
在△ADE和△CDF中，
AE=CF,∠A=∠FCD,AD=CD,
∴ △ADE≅△CDF(SAS)，
∴ DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵ ∠ADE+∠EDC=90∘，
∴ ∠CDF+∠EDC=∠EDF=90∘，即DE⊥DF．
【考点】
等腰直角三角形
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
（1）首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，再证明BD=CD，∠DCF=∠A，根据全等三角形的判定易得到△ADE≅△CDF，继而可得出结论．
【解答】
证明：如图，连接CD，
∵ AC=BC，∠ACB=90∘，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45∘.
∵ D为AB中点，
∴ AD=BD，CD平分∠ACB，CD⊥AB,
∴ ∠DCF=45∘，
∴ AD=BD=CD，
在△ADE和△CDF中，
AE=CF,∠A=∠FCD,AD=CD,
∴ △ADE≅△CDF(SAS)，
∴ DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵ ∠ADE+∠EDC=90∘，
∴ ∠CDF+∠EDC=∠EDF=90∘，即DE⊥DF．
10.
【答案】
解：(1)设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，
由题意得：600x=6001.5x+5，
化简得600×1.5=600+5×1.5x，
解得x=40，
∴ 1.5x=60，
经检验，x=40是分式方程的解且符合实际意义.
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.
(2)设甲加工了x天，乙加工了y天，
由题意得60x+40y=3000，150x+120y≤7800，
由①得y=75−1.5x③，
将③代入②得150x+120(75−1.5x)≤7800，
解得x≥40，
当x=40时，y=15，符合问题的实际意义.
答：甲至少加工了40天.
【考点】
一元一次不等式的实际应用
分式方程的应用
【解析】
（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．
【解答】
解：(1)设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，
由题意得：600x=6001.5x+5，
化简得600×1.5=600+5×1.5x，
解得x=40，
∴ 1.5x=60，
经检验，x=40是分式方程的解且符合实际意义.
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.
(2)设甲加工了x天，乙加工了y天，
由题意得60x+40y=3000，150x+120y≤7800，
由①得y=75−1.5x③，
将③代入②得150x+120(75−1.5x)≤7800，
解得x≥40，
当x=40时，y=15，符合问题的实际意义.
答：甲至少加工了40天.
11.
【答案】
BE=CE
(2)PD=PB.
证明：如图，连接PE，
∵ △ACE,△ADP都是等边三角形，
∴ AC=AE,AD=AP,∠CAE=∠DAP=60∘，
∴ ∠CAE−∠DAB=∠DAP−∠DAB，
∴ ∠CAD=∠EAP，
∴ △CAD≅△EAP(SAS)，
∴ ∠ACD=∠AEP=90∘，
∴ PE⊥AB.
∵ EA=EB，
∴ PA=PB.
∵ DP=AP，
∴ PD=PB.
(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，同(2)中的方法可证PD=PB.
【考点】
含30度角的直角三角形
等边三角形的判定
全等三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定
线段垂直平分线的性质
【解析】
（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；
（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；
（3）结论不变，证明方法类似．
【解答】
解：(1)∵ ∠ACB=90∘,∠B=30∘，
∴ ∠A=60∘.
∵ CE为AB边上的中线，
∴ AC=12AB=AE=EB，
∴ △ACE是等边三角形，
∴ EC=AE=EB.
故答案为：BE=CE.
(2)PD=PB.
证明：如图，连接PE，
∵ △ACE,△ADP都是等边三角形，
∴ AC=AE,AD=AP,∠CAE=∠DAP=60∘，
∴ ∠CAE−∠DAB=∠DAP−∠DAB，
∴ ∠CAD=∠EAP，
∴ △CAD≅△EAP(SAS)，
∴ ∠ACD=∠AEP=90∘，
∴ PE⊥AB.
∵ EA=EB，
∴ PA=PB.
∵ DP=AP，
∴ PD=PB.
(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，同(2)中的方法可证PD=PB.