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数学13.3.1 等腰三角形授课课件ppt
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这是一份数学13.3.1 等腰三角形授课课件ppt,共17页。PPT课件主要包含了一条直线,同位角相等,全等SAS,全等SSS等内容,欢迎下载使用。
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法.
掌握证明的基本要求和方法.
1.我们已学过的部分基本事实:
①两点确定 ;②两点之间线段 ;③同一平面内,过一点有且只有一条直线与 已知直线 ;④两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线 ; ⑤两条平行直线被第三条直线所截, ; ⑥两边及其夹角对应相等的两个三角形同位角相等 ;⑦两角及其夹边对应相等的两个三角形 ;⑧三边对应相等的两个三角形 .
2.全等三角形的对应边 _______、对应角 .
活动:根据学过的基本事实和已知的定理,能证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等” 吗?与同伴交流,展示你的说理过程.
如:已知:如图在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC= EF. 求证:△ABC ≌△DEF.
证明:∵∠A+∠B+∠C=180° ∠D+∠E+∠F=180° , ∴ ∠C=180°-(∠A+∠B), ∠F=180°- (∠D+∠E) . ∵∠A=∠D,∠B=∠E ∴∠C=∠F. ∵ BC=EF,∴△ABC≌△DEF(ASA)
定理: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)
还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
探究点一:等腰三角形的两个底角关系,与同伴交流.活动1:回忆七年级下册通过什么活动获得的等腰三角形的性质?
解析:我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.
探究点二: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合(等腰三角形的“三线合一”).
证明:方法一:如图,取BC的中点为D,连接AD∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD△≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二:作底边的高线作底边的高线AD,则∠BDA=∠CDA=90°在Rt△BAD和Rt△CAD中AB=AC(已知)AD=AD(公共边) ∴Rt△BAD≌Rt△CAD (HL).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
作顶角的平分线能证明上述结论吗?与同伴交流.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,∵AD是△ABC中的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SAS),∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).∴AD是BC边上的中线,
∠BDA=90°,∴AD是BC边上的高,∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
1. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)∠BAD的度数.
证明:(1)∵AC⊥BD(已知)∴∠ACB=∠ACD=90°(垂直定义)△ABC与△ADC中AC=AC,∠ACB=∠ACD,BC=DC∴△ABC≌△ADC(SAS)AB=AD(全等三角形对应边相等)∴△ABD是等腰三角形(等腰三角形的定义)
解:(2)∵AC=BC=CD(已知)∴∠B=∠BAC,∠D=∠DAC(等边对等角)∵AB=AD(已证)∴∠B=∠D(等边对等角)∴∠B=∠BAC=∠D=∠DAC∵∠B+∠BAC+∠D+∠DAC=180°(三角形内角和定理)∴∠BAC=∠DAC=45°,∴∠BAD=90°
“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸. 如图所示,已知△ABC,①AB=AC,②∠1=∠2,③AD⊥BC,④BD=DC中,若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC(等腰三角形三线合一).
∵AB=AC, BD=CD (已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形三线合一).
∵AB=AC, AD⊥BC(已知).∴BD=CD, ∠1=∠2(等腰三角形三线合一).
综上可得:如图,在△ABC中,
1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20° 2.已知等腰三角形的两边长分别是3和5,则该三角形的周长是( )A.8 B.9 C.10或12 D.11或133.在等腰△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为( )A.7 B.11 C.7或11 D.7或104.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为( )A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°
5 .在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD=( )A.36° B.54° C.18 ° D.64°
6.△ABC中,AB=BD=DC,∠C=40°,则∠A=_____,∠ABD=_____.
(1)∵AC⊥BD,AC=BC=CD,∴∠ACB=∠ACD=90°.∴△ACB≌△ACD.∴AB=AD.∴△ABD是等腰三角形.
7.△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形(2) 求∠BAD的度数.
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