数学1.3 一元二次方程的根与系数的关系学案设计

一元二次方程的根与系数的关系

学习目标

1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

学习重难点：根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。

突破难点方法简述：（1）谈话法；（2）讨论法；（3）情景教学法等。

教学过程

一、情境创设（或知识回顾）

1、同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。好吗？

2、请大家完成下面的表格：

3、.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：

（1）已知方程x的根是x和x，则=      ；=      

（2）已知方程x+3x－5=0的根是x和x，则=      ；=      

4．猜想：如果方程的根是x和x，则=      ；=     

5．同学们，你们的猜想对不对，请同学们分组来证明你们的猜想，好吗?（合作探讨）

6．同学们展示自己的证明。

7．（教师演示）

   如果方程的根是x和x，那么=－m，=n

       证明：方程的△=m

      当△=m≥0时，方程的根是x=，x=

=+

=m

=

=n

8．（分组合作）如果方程的根是x和x，那么 

      =      ；=      

二、探究学习过程

典型例题

例1．试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）

（1）2x2-3x+1=0      x1+x2= ________      x1x2= _________            

（2）3x2+5x=0        x1+x2= ________      x1x2= __________            

（3）5x2+x-2=0       x1+x2= _________     x1x2= __________           

（4）5x2+kx-6=0      x1+x2= _________     x1x2= __________            

例2．已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。

解.设方程的另一个根是，则

 3+=2

  解之得=－1。

  ∵3=c

  ∴3×（－1）=c

  ∴c=－3

  故：方程的另一个根是－1，c=－3。

例3．已知方程的根是x和x，求下列式子的值：

   （1） +       （2）

解.由一元二次方程根与系数的关系知：=5，=－6

   （1）原式=+2－

            =

            =5－（－6）

           =31

（2）原式=

         =

         =

         =

三、当堂检测填空：

1．已知方程的两个根分别是x和x，则=     =      

2．已知方程的两个根分别是2与3，则        ，        

3．已知方程的一个根是2，求另一个根及c的值。

4．已知方程2的两个根分别是x和x，求下列式子的值：

  （1）（x+2）（x+2）     （2）

四、课堂小结：你这节课学到了什么？

五、教学反思：

课后作业