安徽省合肥市第八中学2020-2021学年高一下学期超越班数学限时作业（11）+Word版含解析

合肥八中高一（下）超越班数学单元练习（11）                          

一、选择题：本题共8小题，共44分；前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多选题，每题7分。

1．设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

2．棱长为4的正方体的内切球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

3．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（    ）

A．2 B．1 C．高 D．考

4．已知过平面外一点A的斜线l与平面所成角为，斜线l交平面于点B，若点A与平面的距离为1，则斜线段在平面上的射影所形成的图形面积是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．在空间四边形中，，，那么必有（    ）

A．平面平面ADC B．平面平面ABC

C．平面平面BCD D．平面平面BCD

二、多选题

7．如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线垂直于圆O所在的平面，点M是线段的中点，下列命题正确的是（    ）

A．平面； 

B．平面；

C．平面 

D．平面平面

8．如图，在正方体中，，，，，则下列结论正确的有（    ）

A．若，则直线与平面所成角为

B．若，，则

C．若，，则

D．二面角的平面角的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分

9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．

10．在正方体中，二面角平面角的正切值为______.

11．在棱长为1的正方体中，点分别为线段、的中点，则点到平面的距离为______.

12．如图60°的二面角的棱上有两点，直线分别在二面角两个半平面内，且垂直于，则__________．

四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分

13．如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证：

（1）平面；

（2）平面．

14．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，，PA=2， AB= AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点．

（I）求证：EF⊥平面PAD；

（II）求点A到平面PEF的距离．

合肥八中高一（下）超越班数学单元练习（11）                          

四、选择题：本题共8小题，共44分；前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多选题，每题7分。

1．设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】

对于A，与还可能相交；对于B，还有可能；对于C，还有可能；对于D，用反证法可证命题正确.

【详解】

对于A，若，则或与相交.故A不正确；

对于B，若，则或.故B不正确；

对于C，若，则或.故C不正确；

对于D，若，则，命题正确，证明如下：

如图：

假设与不平行，则必相交，设，

设直线与和分别交于点，在上取一点，连、，

 因为，，所以，

因为，，所以，

又直线、直线、直线在同一平面内，所以，这与相矛盾，故假设不成立，所以.故D正确.

故选：D

2．棱长为4的正方体的内切球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由正方体的内切球直径为正方体棱长，直接求解.

【详解】

由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径，

得，，故表面积为，

故选：C.

【点睛】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

3．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（    ）

A．2 B．1 C．高 D．考

【答案】C

【分析】

将展开图还原为正方体，结合图形即可得解；

【详解】

解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，

故选:C.

4．已知过平面外一点A的斜线l与平面所成角为，斜线l交平面于点B，若点A与平面的距离为1，则斜线段在平面上的射影所形成的图形面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先得出射影形成的图形为半径为的圆面，进而求得面积.

【详解】

如图，过点作平面的垂线，垂足为，连接，所以线段为线段在平面上的射影，为斜线与平面所成的角，则，又，所以，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积显然为．

故选：A.

5．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由正三棱柱的性质和线面所成角的定义得到与平面所成的角为.　

根据棱柱的底面平行，即为与平面所成角，进而计算得到所求．

【详解】

平面，与平面所成的角为.

又，，可得，而平面平面，

与平面所成角的正弦值为.

故应选：B.

6．在空间四边形中，，，那么必有（    ）

A．平面平面ADC B．平面平面ABC

C．平面平面BCD D．平面平面BCD

【答案】C

【分析】

由题意，利用线面垂直的判定定理，证得平面,结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面，得到答案.

【详解】

由题意，空间四边形中，，，

又由，且平面，平面，

所以平面,

又因为平面，所以平面平面.

故选：C.

五、多选题

7．如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线垂直于圆O所在的平面，点M是线段的中点，下列命题正确的是（    ）

A．平面； B．平面；

C．平面 D．平面平面

【答案】AD

【分析】

根据题中条件，由线面平行的判定定理，可判断A正确，B错；根据题中条件，判断不与垂直，故C错；根据面面垂直的判定定理，可判断D正确.

【详解】

因为为圆O的直径，M是线段的中点，

所以；又平面，平面，所以平面；即A正确；

又平面，即平面，故B错；

因为点C在圆O的圆周上，所以，故不与垂直，所以不可能与平面垂直，即C错；

由直线垂直于圆O所在的平面，所以；

又，，平面、平面，所以平面，

又平面，所以平面平面，即D正确.

故选：AD.

8．如图，在正方体中，，，，，则下列结论正确的有（    ）

A．若，则直线与平面所成角为

B．若，，则

C．若，，则

D．二面角的平面角的取值范围为

【答案】BC

【分析】

由求出正方体的棱长为2.A选项中，连接交于点，连接，通过三角形的中位线定理可证，结合线面垂直的性质可得进而可求出即为直线与平面所成的角，通过求出可判断A；B，易知平面，求出后，由可求出三棱锥的体积，从而判断B;C，设三棱锥的高为，则，即可求出，由即可求出，进而可判断C选项;D，连接，，易知当时，二面角的平面角最大，可知是二面角的平面角，由余弦定理可求出，即可判断D选项.

【详解】

因为在正方体中，，所以正方体的棱长为2.

对于A，若，即，则点为对角线的中点.

又，所以平面即为平面.

连接交于点，连接，则，故平面，

因为平面，所以.又平面，

所以即为直线与平面所成的角.易知，，

所以，所以，故A错误.

对于B，因为，所以点为的中点，则，所以.

因为平面，平面，所以，又，

所以平面，故当为的中点时，有平面.

又，，所以，

所以，故B正确.

对于C，设三棱锥的高为，则

，所以.因为，所以，

所以，故C正确.

对于D，连接，，易知当时，二面角的平面角最大，

此时点与点重合.连接，则，又，

所以是二面角的平面角.因为，，，

所以，

所以，故D错误.

故选:BC.

【点睛】

方法点睛:

求线面角、面面角时，常用的思路有两种:一是找出线面角、面面角，结合正弦定理、余弦定理等进行求解；二是建立空间直角坐标系，通过空间向量求解.

六、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分

9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．

【答案】45°

【分析】

由PA⊥平面ABC可知∠PBA为PB与平面ABC所成的角，由等腰直角三角形可得出所求角.

【详解】

PA⊥平面ABC，

∠PBA为PB与平面ABC所成的角，

PA＝AB，

∠PBA＝45°.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查直线与平面所成角的定义，知道怎样找到直线与平面所成的角，是一道基础题.

10．在正方体中，二面角平面角的正切值为______.

【答案】

【分析】

采用数形结合，取的中点，可得二面角的平面角为，然后简单计算，可得结果.

【详解】

如图

取的中点，连接

在正方体中，可知

所以，

所以二面角的平面角为

设，所以

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查二面角平面角的正切值，关键在于通过图形正确找到该角，考查对概念的理解，属基础题.

11．在棱长为1的正方体中，点分别为线段、的中点，则点到平面的距离为______.

【答案】

【分析】

先求出，再利用求出点A到平面EFC的距离得解.

【详解】

由题得

所以,

所以.

设点到平面的距离为，则,

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．如图60°的二面角的棱上有两点，直线分别在二面角两个半平面内，且垂直于，则__________．

【答案】10

【解析】

由题意得，过点作，且，如图所示，则，又，所以为等边三角形，且四边形为矩形，即且平面，而平面，所以，由勾股定理得，.

点睛：此题主要考查二面角在空间立体图形中求线段长度的应用，以及数形结合法的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，常常把立体问题转化为平面图形问题来解决，根据条件画出草图，观察图形特点，利用勾股定理、正弦定理或是余弦定理进行运算，从而问题可得解.

四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分

13．如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证：

（1）平面；

（2）平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）先证明，平面即得证；

（2）先证明，，平面即得证．

【详解】

（1）在中，E，F分别是的中点，

所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）在中， ，

所以，所以．

因为平面，平面，

所以．

又因为平面平面．

所以平面．

因为平面，所以

在中，因为，E为的中点，

所以．

又因为平面平面．

所以平面．

【点睛】

本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力.

14．

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，，PA=2， AB= AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点．

（I）求证：EF⊥平面PAD；

（II）求点A到平面PEF的距离．

【答案】（I）见解析；（II）

【分析】

（I）证明，得到平面.

（II）设与相交于点，连接，证明平面平面，过作于，得到线段即为所求，计算得到答案.

【详解】

（Ⅰ）PA⊥平面，又点、分别为、的中点

在中，AB=AC

平面.

（Ⅱ）设与相交于点，连接．

∵EF⊥平面平面平面，

过做于，则平面，故线段为点到平面的距离

在中，，

即点到平面的距离为．

【点睛】

本题考查了线面垂直，点到平面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.