湖南省部分学校2020-2021学年高一下学期6月联考数学试题+Word版含答案

湖南省部分学校2020-2021学年高一下学期6月联考

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第九章第一节．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．的实部为（    ）

A．     B．3    C．     D．11

2．如图，网格纸中小正方形的边长均为1，A，B，C，D，E，F，G这7个点都是小正方形的顶点，则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．下列判断正确的是（    ）

A．空间中任意三点确定一个平面

B．垂直同一个平面的两条直线互相垂直

C．一个西瓜切3刀最多可切成8块

D．垂直同一个平面的两个平面互相平行

4．已知O为复平面内的原点，复数在复平面内对应的点分别为A，B，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．圆柱形容器内部盛有高度为h的水，若放入两个直径为的铁球（球的半径与四柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球（如图所示），则（    ）

A．    B．    C．    D．

6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是的中点，则（    ）

A．    B．    C．    D．3

8．若向量满足，，且当时，的最小值为，则（    ）

A．    B．    C．6    D．

二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．在复数集内，（    ）

A．方程有两个解        B．方程只有实数解

C．方程只有两个解       D．方程的两个解互为共轭复数

10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件可以得出为锐角三角形的是（    ）

A．             B．

C．中的最小角为     D．中最大角的正切值为2

11．定义一种向量运算“⊕”：（为任意向量）．则（    ）

A．                       B．

C．     D．当是单位向量时，

12．如图，正方体的棱长为，M为线段上的动点，则（    ）

A．当时，异面直线与所成角的正切值为

B．当时，四棱锥外接球的体积为

C．的最小值为

D．直线与底面所成最大角的正切值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．若向量，则_______．

14．写出一个复数z，使得z在复平面内对应的点位于第三象限，但在复平面内对应的点位于第一象限，则_________．

15．梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆，湖南，湖北四省（市）的武陵山脉的最高主峰．某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为，在点B处测得P的仰角为，则金顶P的海拔为________米．（结果精确到整数部分，取）

16．在长方体中，E为棱上一点，F为棱的中点，且，，，，则平面截该长方体所得截面为________边形，截面与侧面、侧面的交线长度之和为______________．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

某大学工商管理专业共有1000名大学生，其中男生有520名．为了解该专业大学生的身高情况，李明按男生，女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生，女生的平均身高分别为，．假设李明在各层中按比例分配样本．

（1）如果总样本量为200，那么李明在男生，女生中分别抽取了多少名?

（2）请估计这1000名大学生的平均身高．（结果精确到0.01）

18．（12分）

已知z的共轭复数．

（1）求z；

（2）若，求．

19．（12分）

如图，在正三棱锥中，D，E，F，G分别为的中点．

（1）证明：D，E，F，G四点共面，且平面．

（2）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故各个顶点的曲率均为．若正三棱锥在顶点S的曲率为，且，求四边形的面积．

20．（12分）

在平行四边形中，．

（1）用表示；

（2）若，求；

（3）若，求．

21．（12分）

如图，在四棱柱中，，且侧面底面，，．

（1）过求作一条直线，使该直线既与垂直又与垂直，并说明理由；

（2）已知，若四棱柱的体积为，求点D到平面的距离．

22．（12分）

如图．在平面四边形中，．

（1）设，证明为定值．

（2）若，记的面积为，的面积为．，求S的最大值．

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数学参考答案

1．D  因为，所以的实部为11．

2．D  由图可知，则．则．

3．C  空间中任意三点不一定可确定一个平面，垂直同一个平面的两条直线互相平行，垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确，其余选项均错误．

4．B  因为，所以A的坐标为，又B的坐标为，所以．

5．A  依题意可得，解得．

6．C  因为，所以，即．又，则，

从而．又，故．

7．A  如图，设正方形的中心为O，连接，则平面，．设的中点为H，连接，则，所以．在中，，，，所以由余弦定理可得所以．

8．D  由向量的减法法则可得，当向量与垂直时，取得最小值，

则，解得，

则，故．

9．ABD  因为方程的解为，所以A正确．方程的解为0和2，故B正确．方程有四个解，分别为，，故C错误．方程的解为，故D正确．

10．ACD  若，则为锐角三角形．若，则，从而，因为，所以为钝角三角形．当中的最小角为时，假设该三角形不是锐角三角形，则必有一个角不小于，则另一个角必小于，从而最小角不是，所以假设不成立，则该三角形必为锐角三角形．若中最大角的正切值为2，则最大角为大于的锐角，从而三角形必为锐角三角形．

11．AD  当共线时，；当时，；当为钝角时，，故A正确．当均为非零向量且共线时，，故B错误．当均为非零向量，与均不共线，且时，，，，，故C错误．若是单位向量，当与不共线时，则；当与共线时，则，故D正确．

12．ABC  对于A，如图1，取的中点E，连接，因为，所以M为的中点，所以，则为异面直线与所成的角．易证，则，故A正确．

对于B，设O为侧面的中心，因为，所以四棱锥外接球的半径为1，其体积为，故B正确．

对于C，如图2，将等边沿旋转，使与等腰直角在同一个平面内，则当D，M，三点共线时，最小，此时，所以，所以，故C正确．

对于D，易知直线与底面所成角为，当时，取得最小值，此时正切值最大，故的最大值为，故D错误．

13．5  因为，所以，，则，从而．

14．（答案不唯一）  只要满足，且即可．

15．2494  设米，依题意可得，则．因为，所以，则，所以米，故金顶P的海拔为米．

16．五；  如图，设平面与棱分别交于G，H，则截面为五边形．易证，，则，

则．

因为，

所以，

从而．

17．解：（1）男生被抽取了名，      2分

女生被抽取了名．        4分

（2）这1000名大学生的平均身高的估计值为        7分

．          10分

18．解：（1）因为

，           2分

所以，           4分

故．        6分

（2）由（1）可知，          7分

因此，           9分

所以．         12分

19．（1）证明：因为D，E，F，G分别为的中点，

所以，                  1分

所以，即D，E，F，G四点共面．       2分

又因为平面，平面，        3分

所以平面．           4分

（2）解：由D，E，F，G分别为的中点，同理可证．      5分

在正三棱锥中，易知顶点S的三个面角均相等，不妨设面角为，由曲率定义，得，则．        6分

由，可知均为斜边为2的等腰直角三角形，为边长为2的正三角形．                   7分

如图，记的中点为O，连接，则，      8分

所以平面，则，          9分

所以，四边形为矩形，      10分

，       11分

所以四边形的面积为．       12分

20．解：，         2分

．    4分

（2）因为，      5分

所以，

则，              6分

解得．          8分

（3）因为，所以，         9分

．       12分

21．解：（1）过作，垂足为H，         1分

则直线即要求作的直线．        2分

证明如下：

因为侧面底面，侧面底面，

所以底面．                  3分

因为A平面，所以且．        4分

（2）由（1）知，底面，

因为，所以．      5分

设梯形的高为h，则四棱柱的体积，解得．              6分

因为，所以为该梯形的高，则，

又，所以侧面．      7分

（方法一）取的中点F，连接，过H作，垂足为E，连接，

易证平面，则．         8分

因为，

且，所以，              9分

则，

所以的面积为．         10分

设点D到平面的距离为d，

由，得，      11分

解得，故点D到平面的距离为．      12分

（方法二）因为，所以．        8分

因为，所以．

连接，则，从而．      9分

所以的面积为．          10分

设点D到平面的距离为d，

由，得，      11分

解得，故点D到平面的距离为．       12分

22．（1）证明：设，则．

在中，因为，所以．        1分

在中，由余弦定理，         2分

即，        3分

则，即，      4分

故为定值．        5分

（2）解：在中，，

则，．       7分

          8分

，              10分

当时，S取得最大值．         12分