福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期6月周练（16）数学试题+Word版含答案

新世纪学校高一年（下）数学周练（16）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数为纯虚数的充要条件是（    ）

A．  B．且  C．且 D．且

2．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：

甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38.

则下列描述合理的是（ ）A．甲队员每场比赛得分的平均值大B．乙队员每场比赛得分的平均值大

C．甲队员比赛成绩比较稳定 D．乙队员比赛成绩比较稳定

3．下列说法正确的是（    ）A．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”

B．若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定

C．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式

D．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是5

4．如图，每个小正方格的边长都是，则的值为（    ）A．1 B． C．   D．

5．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ）A．8 B．10 C．9 D．6

6．若是上周期为5的奇函数，且满足，，则等于（    ）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

7．已知，则（ ）AB． C． D．

8．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ）A．                 B．                 C．                  D．

二、多选题

9．截至2019年年末，中国大陆总人口约为14亿，为实现人口分布和就业结构更加合理，自上世纪90年代至今，我国城镇化发展迅速，如图是我国2011年至2019年的城镇化率走势图．预计到2035年，中国大陆总人口将增至亿，其中城市人口有亿．2011-2019年中国城镇化率走势图

依据以上信息，下列判断正确的是（    ）．

A．我国城镇化率逐年提高

B．2019年我国城市人口比农村人口约多一倍

C．预计2035年我国城镇化率高于70％D．预计2035年我国农村人口比2019年农村人口少亿

10．以下命题（其中表示直线，表示平面），其中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（    ）

A．B．C．D．，，两两相互独立

12．若函数两条对称轴之间的最小距离为，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为  B．函数在上单调递减

C．将函数图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称

D．若，则

三、填空题

13．已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______．

14．已知向量，若和共线，则实数 ___________．

15．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于___．

16．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概是 摸出白球的概率是，那么摸出黑球的概率是 _____．

四、解答题

17．已知函数（1）求函数的单调递增区间；

（2）若锐角三角形ABC中，角A､B､C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围.

18．对哈尔滨市某高校随机抽取了100名大学生的月消费情况进行统计，并根据所得数据画出如下频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点）

（1）请根据频率直方图估计该学生月消费的中位数和平均数；

（2）根据频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，在月消费不少于3000元的两组学生中抽取4人，若从这4人中随机选取2人，求2人不在同一组的概率．

19．年国办发号文件的公布让多年来一直期待涨工资的机关事业单位人员兴奋不已.某事业单位随机从甲部门抽取人(男女)，从乙部门抽取人(男女)，然后从这人中随机抽取人代表单位去参加市里的相关会议.

（1）求这人全部来自甲部门的概率；（2）求这人中至少有人是男生的概率.

20．如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面垂直底面，，分别为，的中点.

（1）求证：；

（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置，若不存在，请说明理由.

21．函数是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求函数在的解析式；（2）当时，若，求实数m的值．

22．已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若，，且为的中点，求三棱锥的体积.

参考答案

1．D

【分析】

根据复数为纯虚数可出关于、所满足的等式与不等式，由此可得出合适的选项.

【详解】

要使得复数为纯虚数，则，

若，则；若，则.

所以，且.

故选：D.

2．C

【分析】

计算均值，再根据数据的集中度判断．

【详解】

甲的均值为，

乙的均值为，

两者均值相同，甲的方差为

乙的方差为

，

甲的方差小于乙的方差，甲稳定．

故选：C．

3．B

【分析】

根据统计量，对各项分析判断即可得解.

【详解】

对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；

对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；

对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；

对于D，数据1､2､5､5､5､3､3按从小到大排列后为1､2､3､3､5､5､5，

则其中位数为3，故D错误，

故选：B.

4．C

【分析】

建立平面直角坐标系，运用向量坐标的线性运算可求解.

【详解】

建立如下图所示的平面直角坐标系：

可得，

所以，

由，有，则，解得，所以.

故选：C.

5．A

【分析】

利用基本不等式计算可得；

【详解】

解：因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等号，

故选：A

6．C

【分析】

根据函数的周期性与奇偶性计算可得；

【详解】

解：∵若是上周期为5的奇函数，∴，，∴，，∴，

故选：C.

7．C

【分析】

利用指对数的性质，比较大小即可.

【详解】

由指对数的性质有：，

∴.

故选：C

8．B

【分析】

先分析出三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，直接求出长方体的外接球的半径为R，求出球的表面积.

【详解】

将三棱锥放在一个长方体中，如图示：

则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，因为，，为直角三角形，所以.

设长方体的外接球的半径为R，则，故.

所以外接球的表面积为.

故选：B.

【点睛】

多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：

(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．

9．ACD

【分析】

充分理解题中的统计图，城镇化率与农村人口占的比重是相对立的.

【详解】

由题图可知A正确；

因为2019年我国城镇化率为％，所以农村人口占比％，显然城市人口比农村人口多的不足一倍，B错误；

预计2035年中国大陆总人口为亿，其中城市人口有亿，故农村人口为亿，2019年农村人口约为（亿），，C正确；

预计2035年我国城镇化率为％％，D正确．

故选：ACD．

10．ABC

【分析】

根据线线、线面关系对选项一一分析即可.

【详解】

对于A，若，若，也可满足条件，故A错误；

对于B，若，由线面平行的性质知，在平面内找到一条线分别与直线平行即可，由平面内的线线关系知，直线可以存在相交，异面直线，平行等情况，故B错误；

对于C，若，此时若，也可满足条件，故C错误；

对于D，由线面平行的性质知，若，则，故D正确；

故选：ABC

11．BC

【分析】

根据各事件的交补集中的事件数，应用古典概型求概率的方法求、、、，由两两相互独立事件的概率性质判断A、B、C是否相互独立.

【详解】

由题意， ，，，

∴，同理，，

由，则，故A错误；

由，则，故B正确；

由，则，而，故C正确；

因为，，，所以事件，，不两两相互独立，故D错误.

故选：BC.

【点睛】

易错点睛：对于两个事件，，可将对应的积事件看成一个事件，利用古典概型的概率公式计算，一般地，对于两个事件，，概率公式为，

使用概率的计算公式，必须注意前提条件：

对于两个事件，，有；

当，为互斥事件时，有.

若事件，，，有时，不一定有，，两两相互独立.

12．AC

【分析】

根据题意可得，即可求得周期和；根据余弦函数的单调性可判断B；求出平移后的解析式可判断C；由可得，代入可求解.

【详解】

两条对称轴之间的最小距离为，

，，则，即，故A正确；

当时，，根据余弦函数的单调性，可得当，即时，单调递增，故B错误；

将函数图象向右平移个单位长度后得关于轴对称，故C正确；

由可得，

则，

则，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是正确应用余弦函数的性质求解.

13．或1

【分析】

由已知可得：集合A只有一个元素，即关于x的方程只有一个根.分类讨论求出a的值.

【详解】

A的子集个数为2个，所以集合A只有一个元素，

即关于x的方程只有一个根.

当时，方程只有一个根符合题意；

当时，关于x的方程只有一个根，只需，解得：.

故或1.

故答案为：或1.

【点睛】

集合A有n个元素，则A的子集的个数为.

14．

【分析】

由向量共线，结合向量共线的坐标表示可得，即可求参数t.

【详解】

由和共线，知：，解得，

故答案为：

15．1

【分析】

根据小虫爬行的最短路程求得圆锥侧面展开图的圆心角，由此计算出圆锥底面圆的半径.

【详解】

画出图象如下图所示，依题意：小虫爬行的最短路程为，

母线长，所以，所以，

所以.

设圆锥底面圆的半径为，则.

故答案为：

16．0．3

【解析】

试题分析：：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的 摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，摸出黑球的概率是1-0．42-0．28=0．3

考点：互斥事件的概率

17．（1）单调递增区间为；（2）.

【分析】

（1）先把整理为，直接求出的单调递增区间；

（2）由，求出，用正弦定理表示出边a、c，根据为锐角三角形，求出角B的范围，从而求出的范围.

【详解】

解：（1）

由解得：，

故函数的单调递增区间为.

（2），，

又，，，

又，

在中，由正弦定理得：，得: ,

又为锐角三角形，且，故，

解得,所以

，即，，

所以.

【点睛】

(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式；

(2)在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：

①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择.

18．（1）中位数，平均数2450；（2）概率为．

【分析】

（1）根据直方图，由两侧柱形条面积和相等求中位数，由平均数的求法：各组的组间均值乘以频率后，加总即可.

（2）根据分层抽样知、分别抽了3人、1人，应用古典概型求概率的方法求概率即可.

【详解】

（1）由直方图，设中位数为，且，

∴，

可得，即.

由图知：.

（2）由题意知：抽取4人中在、分别抽了3人、1人，

∴4人中随机选取2人有种，而2人不在同一组有种，

∴2人不在同一组的概率为.

19．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果；

（2）利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果.

【详解】

即甲部门抽取的2个男生为，1个女生为，乙部门抽取的2个男生为，2个女生为，从这人中随机抽取人的情形有：，，，，，，共21种，

（1）记“这人全部来自甲部门”为事件，则事件包含的基本事件有3个，

故；

（2）记“这人中至少有人是男生”为事件，则事件包含的基本事件有18个，

故.

【点睛】

关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求解是解题关键.

20．（1）证明见解析；（2）存在，点在棱上靠近点的三等分点处.

【分析】

（1）由为菱形知，由中位线、平行线的性质得，根据面面垂直的性质可得面，进而由线面垂直的判定及性质即可证.

（2）设交于，交于，过作交于，根据面面平行的判定可证面面，由面面平行的性质有面，进而可确定所得点即为所求，且处于棱上靠近点的三等分点处.

【详解】

（1）证明：连接，

四边形为菱形，

，

，分别为，的中点，即，

∴，

面为等边三角形，且为的中点，

，又面面，面，

面面，

面，又面，

，又， 面，

面，又面，

.

（2）解：设交于，交于，

则为的中点，为的中点，

在中，过点作交于点，则点即为所求.

理由如下：

，分别为，的中点，

，面， 面，

面，同理面，

，､面，

面面，即面面，

面，面.

，，

故点在棱上靠近点的三等分点处.

【点睛】

关键点点睛：

（1）应用菱形、中位线、平行线的性质证线线垂直，根据面面垂直的性质、线面垂直的判定及性质证线线垂直.

（2）利用线面平行的性质，通过作图找到满足题设要求的点，并确定位置在线段靠近点的三等分点处.

21．（1）；（2）或.

【分析】

（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；

（2），有，解方程即可得解.

【详解】

（1）令，则，

由，此时；

（2）由，，

所以，

解得或或（舍）.

22．（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）连接交于，易知，由平面得，进而得平面，由于平面，故即可证得；

（2）根据题意易得平面，平面，故根据等体积法得，再根据几何关系求解即可.

【详解】

解：（1）证明：连接交于，

∵ 底面为菱形，∴，为中点，

∵ 平面，平面，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面，

∵ 平面，

∴ 平面平面.

（2）∵ 平面，平面，

∴，

∵ 平面，平面，

∴平面，

∵ 底面为菱形，∴

∵平面，平面

∴平面，

∵ 为的中点，

∴ 三棱锥的体积，

由（1）知得平面，，，，，

∴ ，，

所以，

所以

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据已知条件，利用等体积转化法得.