吉林省长春市九台师范高中2020-2021学年高一下学期第二阶段考试数学试卷+Word版含答案

九台师范高中2020-2021学年度第二学期第二阶段考试

高一数学试题

考生注意： 1．将答案写在答题卡上。交卷时，只交答题卡。

2.本试题考试时间120分钟，满分150分。 

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1．设复数，若为纯虚数，则实数（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，，，的夹角为45°，若，则（    ）

A． B．2 C．  D．3

3．如图，在三棱锥中，，点在上，且，为中点，则（    ）

A．  B．

C． D．

4．棱长为正四面体的体积是（     ）．

A． B． C． D．

5．在内角，，的对边分别是，，，已知，，，则的大小为（    ）

A．或 B．或 C． D．

6．已知三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，有下列四个命题：

①若，，则；         ②若，，且，则；

③若，，，，则；

④若，，，，则.其中正确命题的个数为（    ）

A． B．

C． D．

7．中有：①若，则；②若，则—定为等腰三角形；③若，则—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则（    ）

A．  B． C． D．

9．在正方体，中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则异面直线MN与PQ所成角的大小是（    ）

A． B． C． D．

10．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（    ）

A． B． C． D．1

11．在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（   ）

A． B． C． D．

12．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知平行四边形，A ， B， C ，则 D 点坐标         .

14．在正方体中，、分别是棱、的中点，则直线与平面所成的角正切值为__________.

15．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若，，，，则球的体积为__________．

16．在中，若，，则面积的最大值为___   ___．

三、解答题：(本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17．（本题满分10分）已知向量

（1）若，求的值；

（2）若，求

18．（本题满分12分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（Ⅰ）证明：DN//平面PMB；

（Ⅱ）证明：平面PMB平面PAD；

19．（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积为 ，求a的值．

20．（本题满分12分）如图，在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E、F、G分别是CB、CD、CC’的中点， 

（1） 求证：平面A B’D’∥平面EFG;  

（2）  求证：平面AA’C⊥面EFG.  

21．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，矩形，，，点在棱上.

（1）若平面，证明：是的中点；

（2）当为的中点时，求三棱锥的体积.

22．（本题满分12分）在中，，，分别为角，，所对的边，且，.

（Ⅰ）若，求的面积；

（Ⅱ）若为锐角三角形，求的取值范围.

高一数学参考答案

一、单项选择

DBACC     BCDBC   AC

二、填空题

13．(2,-2)              14．              15．          16．

三、解答题

17．（10分）解：（1）

……………………………………………..2分

……………….4分

……………………………………………..5分

（2）,

……………………………7分

或…………………………………………8分

当时,,,则,所以…..9分

当时,,,则,所以…..10分

18．（12分）

 解：（Ⅰ）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，

因为M、N分别是棱AD、PC中点，

所以QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ……………………………………. 3分

……………………………………………….6分

（Ⅱ）………………………………………………8分

又因为底面ABCD是的菱形，且M为中点，

所以．又所以………………………10分

………………………………………12分

19．（12分）解：（Ⅰ）∵，∴（2c﹣b）•cosA﹣a•cosB=0，……………….2分

∴cosA•（2sinC﹣sinB）﹣sinA•cosB=0，

∴2cosAsinC=sin（A+B），

即2cosAsinC=sinC，…………………………………………………….…………..4分

∵sinC≠0∴2cosA=1，即又0＜A＜π∴………………………..…6分

（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴，，…..8分

∴c=4………………………………………………………………………………………9分

由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=，

∴．…………………………………………………………………………….12分

20.（12分）证明：

（1）连接BD,在正方体ABCD-A’B’C’D’中，BB’∥DD’,BB’=DD’

∴四边形BB’D’D为平行四边形 ∴BD∥B’D’……………………………………1分

∵E、F分别为BC、DC中点，∴EF∥BD  ∴EF∥B’D’

又∵ ∴EF∥面AB’D’…………………….3分

同理EG∥面AB’D’

∵ ∴面A B’D’∥面EFG………6分

（2）∵AA’⊥面ABCD，EF面ABCD ∴AA’⊥EF

由（1）知EF∥BD ∵AC⊥BD  ∴EF⊥AC………………………………………8分

又∵AC∩AA’=A ∴EF⊥面AA’C……………………………………………………10分

∵EF面EFG ∴面AA’C⊥面EFG…………………………………………………..12分

21．（12分）解：（1）过点作交于点，连接，如图所示

则，所以四点共面

因为平面，又平面，

所以.……………………………………………………………………….. 3分

又，所以为的中点，

所以为中点.……………………………………………………………………..6分

（2）因为为中点，所以到平面的距离为点到平面的距离的..…7分

因为矩形，平面，所以.

又，，平面，平面，所以平面….9分

所以点到平面的距离为4，

所以点到平面的距离为2…………………………………………………..10分

则

即三棱锥的体积为4. ……………………………………………………..12分

22．（12分）

解：（Ⅰ）由正弦定理得，

，…………………………………………………….1分

∴，

∴，

∵，∴，

∴，∵，∴……………………………………………3分

由余弦定理得：，

，，∴（负值舍去），………………………5分

∴………………………………………………6分

（Ⅱ）由正弦定理得：，………………………….7分

………………………………………….…..8分

………………………………………10分

∵是锐角三角形，∴，

，，

∴………………………………………………………………12分