河北省石家庄市2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题+Word版含答案

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2020~2021学年度石家庄市高一第二学期第三次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第3节占30%，第八章第4节至第十章第1节占70%。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列情况中，适合用全面调查的是A.检查某人血液中的血脂含量B.调查某地区的空气质量状况C.乘客上飞机前的安检D.调查某市市民对垃圾分类处理的意识2.高一（1）班30名学生的一次数学考试成绩按从小到大排序结果如下：51 54 59 60 64 68 68 70 71 7272 74 75 76 79 80 80 81 82 8385 87 88 90 91 92 93 95 98 100则估计这次数学考试成绩的第75百分位数为A.87     B.88     C.90     D.87.53.下列判断正确的是A.空间中任意三点确定一个平面B.垂直同一个平面的两条直线互相垂直C.一个西瓜切3刀最多可切成8块D.垂直同一个平面的两个平面互相平行4.某同学从6岁到12岁的年龄与身高的折线图如图所示，根据折线图，下列说法正确的是A.9岁到10岁的身高增长速度最快B.从6岁到12岁，每年身高平均增长了5cmC.7岁时，该同学的身高就超过了120cmD.9岁到12岁比6岁到9岁的身高增长速度更快5.连续掷两次骰子，设先后得到的点数为m，n，则的概率是A.     B.     C.     D. 6.如图，在直三棱柱中，点O为的中点，，，，则异面直线BC与所成角的正切值为A.     B.     C.     D. 7.已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点。则A.     B.     C.     D. 8.已知是互不相等的自然数，且，标准差为2，则该样本数据的极差为A.4     B.6     C.7     D.8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是A.若，则与为相等向量B.若与方向相反，则与为相反向量C.若，则A，B，C，D四点一定可以构成平行四边形D.两个单位向量之和可能仍然是单位向量10.将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得黄球”是互斥不对立事件B.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C.事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，T分得红球”D.当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是11.在中，内角A，B，C所对的边分别为，，，则A. 为锐角三角形B.当时，C. 周长的最大值为3D. 面积的最大值为12.如图1，E，F分别为等腰梯形底边AB，CD的中点，，将四边形EFCB沿EF进行折叠，使BC到达位置，连接，，如图2，使得，则图1                          图2A. 平面B.平面平面C. 与平面AEFD所成角的正切值为D.多面体的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.某校高一年级有男生300人，女生200人，已知男生、女生的平均身高分别为170 cm和160 cm，则该校高一年级全体学生的平均身高为     ▲     cm.14.写出一个复数z，使得z在复平面内对应的点位于第三象限，但z2在复平面内对应的点位于第一象限，则z=     ▲     .15.梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆、湖南、湖北四省（市）的武陵山脉的最高主峰，某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为，在点B处测得P的仰角为，则金顶P的海拔为     ▲     米. （结果精确到整数部分，取）16.在长方体中，，，则以点A为球心，半径的球的球面与长方体表面的交线的总长度为     ▲     .四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）自中国进入工业化进程以来，个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低，文化水平较高的人往往收入较高.将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25分，“顶级尖端人才”为最高分95分.为了分析A市居民的受教育程度，从A市居民中随机抽取1000人的文化水平数据X，将样本分成小学[ 25，35），初中[35，45），高中[45，55），专科[55.65），本科[65，75），硕土[75.85），博士[85.95]七组，整理后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求样本数据的众数和中位数（保留一位小数）；（2）同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，请估计该市居民的平均文化水平.18. （12分）如图，已知，，，且，.（1）求；（2）设AN与BM交于点P，求的值.19.（12分）如图，在正三棱锥中，D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点。（1）证明：D，E，F，G四点共面，且平面DEFG.（2）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故各个顶点的曲率均为.若正三棱锥在顶点S的曲率为，且，求四边形DEFG的面积.20.（12分）“国家品牌计划”是央视对过去的广告招标模式实现的一次创新，为入选企业定制宣传片及企业品牌故事，在央视各频道高频次播出，希望能提升企业品牌形象，以品牌建设驱动产业升级.现在有家具用品类企业36家，医药卫生类企业18家，建筑建材类企业18家，准备参加“国家品牌计划”的招标.（1）通过分层随机抽样的方法从这3类企业中抽取4家企业，按比例分配样本，求从家具用品类企业中抽取的数量和每一家企业被抽到的概率；（2）若根据（1）中方法抽取的4家企业中标人围“国家品牌计划”的概率都是，求这4家企业中恰只有1家家具用品类企业和1家医药卫生类企业中标入围的概率.21.（12分）如图，在四棱柱中，，，底面ABCD是菱形，，平面平面ABCD，.（1）证明：平面ABCD.（2）求四棱锥的体积.22.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，.（1）设，证明：为定值.（2）若，记的面积为，的面积为，，求S的最大值.2020~2021学年度石家庄市高一第二学期第三次月考数学参考答案1.C乘客上飞机前的安检适合用全面调查，只有确认每一名乘客所携带的物品都安全才能保证航班安全.2.B由，可知样本的第75百分位数为第23项数据，据此估计这次数学考试成绩的第75百分位数为88.3.C空间中任意三点不一定能确定一个平面，垂直同一个平面的两条直线互相平行，垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确，其余选项均错误.4. D由所给折线图可知，6岁到7岁，身高增长了2cm；7岁到8岁，身高增长了3cm；8岁到9岁，身高增长了5cm；9岁到10岁，身高增长了6 cm；10岁到11岁，身高增长了9 cm；1l岁到12岁，身高增长了3 cm.身高增长速度最快的是10岁到11岁，A错误；从6岁到12岁，每年身高平均增长了，B错误；7岁时，该同学的身高为118 cm，C错误；6岁到9岁的身高增长了10 cm，9岁到12岁的身高增长了18 cm，D正确.5.D依题意知基本事件的种数为，其的事件为（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共15种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为.6.A 如图，连接，，设与的交点为E，连接OE，易得点E为的中点，又因为点O为的中点，所以，且，所以即异面直线BC与所成角.在直三棱柱中，，又因为，所以平面，从而平面，可得.因为，，所以，，所以.7. A如图，设正方形ABCD的中心为O，连接OC，PO，OF，则平面ABCD，.设OC的中点为H，连接EH，FH，则，所以.在中，，，，所以由余弦定理可得，所以.8.B不妨设，平均数为，方差为，则，解得，即，所以，则.当时，数据依次为5，6，7，8，9，则样本的方差为，不满足题意；当时，数据依次为4，6，7，8，10，则样本的方差为，满足题意；当时，，，，此时，方差大于4，不合题意.故样本中最大的数为10，最小的数为4，极差为6.9.ABC 若，只能表示和的长度相等，不能说明为相等向量，A错误；相反向量是方向相反，模相等的两个向量，B错误；若，则A，B，C，D四点可能共线，不能构成平行四边形，C错误；单位向量是模长等于1的向量，两个单位向量之和的模长可能仍然为1，D正确.10.BD  事件“甲分得红球”与事件“乙分得黄球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确.11. BCD  由，可得，化简可得，因为，所以，可得，A，C的大小不确定，可能为直角或钝角，A错误；当时，，，B正确；由，可得，变形可得，解得，当且仅当时取等号，所以的周长，C正确；由，可得，当且仅当时取等号，所以的面积，D正确.12. ABC  因为，，，所以平面，A正确.因为，，，，所以平面平面，B正确.如图，延长，EF，BC相交于点H，过作于点G.连接GH.因为平面，所以，则平面AEFD，故为与平面ABCD所成的角.因为，所以，所以.在中，，，可得，，则，所以，C正确.延长AD交于点H，易证多面体为三棱台，，，，多面体的体积，D错误.13.    .14. （答案不唯一）只要满足，，且即可.15. 2494  设米，依题意可得，，则，因为，所以，则，所以米，故金顶P的海拔为米.16.    交得的曲线由四段弧构成.如图，其中两段（前侧面和下底面）弧是以A为圆心，半径为，圆心角为的圆弧；另两段（上底面和后侧面）弧是分别以和D为圆心，半径为1，圆心角为的圆弧.17.解：（1）样本数据的众数为.的频率为；的频率为.所以中位数在区间[65，75）上，中位数为.（2）平均文化水平.18.解：（1），则，（2）等于向量和的夹角.，，则.19. （1）证明：因为D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点，所以，，所以，即D，E，F，G四点共面.又因为平面DEFG，平面DEFG，所以平面DEFG.（2）解：由D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点，同理可证.在正三棱锥中，易知顶点S的三个面角均相等，不妨设面角为，由曲率定义，得，则.由，可知，，均为斜边为2的等腰直角三角形，为边长为2的正三角形.如图，记AC的中点为O，连接SO，BO，则，，，所以平面OBS，则，所以，四边形DEFG为矩形，，，所以四边形DEFG的面积为.20.解：（1）由题意可得，家具用品类企业、医药卫生类企业、建筑建材类企业的数量之比为2：1：1，通过分层随机抽样，按比例分配样本，应从家具用品类企业中抽取2家，记事件A为“任意一家被抽到”，因为任意一家被抽到的概率相等，所以每一家企业被抽到的概率.（2）记事件B为“恰有1家家具用品类企业、1家医药卫生类企业中标入围”，若2家家具用品类企业中标入围分别记为，，没中标入围分别记为，，医药卫生类企业中标入围记为B，没中标入围记为，建筑建材类企业中标入围记为C，没中标入围记为，可能出现的情况为共16种，恰有1家家具用品类企业、1家医药卫生类企业中标入围的情况为，共2种，所以恰有1家家具用品类企业、1家医药卫生类企业中标入围的概率.21.（1）证明：连接AC，因为底面ABCD是菱形，所以.又，，所以平面.因为平面，所以.取CD的中点E，连接BE，因为，所以等边三角形，则.又平面平面，平面平面，所以平面.又平面，所以.因为，所以平面ABCD.（2）解：因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且，所以.又平面ABCD，所以，所以，故.22.（1）证明：设，则.在中，因为，所以.在中，由余弦定理得，即，则，即，故为定值.（2）解：在中，，则，即.，当时，S取得最大值.