安徽省卓越县中联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题+Word版含答案

安徽省卓越县中联盟2020—2021学年度第二学期高一年级期中联考

数学试题卷

一、选择题

1．若向量，共线，则实数的值是（    ）

A．    B．    C．4    D．

2．长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是，体对角线长为，则这个长方体的表面积为（    ）

A．12    B．22    C．32    D．44

3．在中，点为上的点，且，若（，），则（    ）

A．1    B．    C．    D．

4．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ）

A．  B．   C．12    D．

5．已知复数（为虚部单位），则的最大值为（    ）

A．1    B．    C．2    D．3

6．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为，则圆台的体积为（   ）

A．   B．   C．   D．

7．若复数满足（为虚部单位），则的共轭复数的虚部为（    ）

A．2    B．    C．    D．

8．在中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值是（    ）

A．    B．    C．或   D．或

9．已知，是单位向量，且，向量是与同向的单位向量，则向量在上的投影向量为（    ）

A．   B．    C．    D．

10．已知是的重心，若，，则的最小值是（    ）

A．4    B．2    C．    D．

11．圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）

A．    B．   C．    D．

12．已知定点、、、在同一个平面内，且满足，，动点，满足，，则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．    D．

二、填空题

13．若复数，（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于第______象限．

14．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围______．

15．如图，已知面积为16的正方形的四个顶点均在球的球面上，为正方形的外接圆，为等腰直角三角形，则球的体积为______．

16．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图），其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面。截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积，其中为球的半径，球冠的高），设球冠底的半径为，周长为，球冠的表面积为，则的值为______（结果用、表示）

三、解答题

17．当实数为何值时，复数（为虚数单位）

（1）实数；（2）纯虚数．

18．已知，，．

（1）求与的夹角；

（2）若，且，求实数及．

19．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．

（1）求圆锥的底面积；

（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．

20．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若向量，，且．

（1）若，，求边；

（2）求的取值范围．

21．某农场有一块等腰直角三角形的空地，其中斜边的长度为200米。为迎接“五一”观光游，欲在边界上选择一点，修建观赏小径，，其中，分别在边界，上，小径，与边界的夹角都为．区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花．

（1）求证：为定值；

（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径，当点在何处时，三条小径的长度和最小？

22．在直角中，点，在斜边上（，异于，，且在，之间）．

（1）若的平分线交于点，，求的最小值；

（2）已知，，，设．

①若，求的长；

②求面积的最小值．

安徽省卓越县中联盟2020-2021学年度第二学期高一年级期中联考

数学参考答案

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】A

8．【答案】C

9．【答案】A

10．【答案】D

11．【答案】D

12．【答案】C

13．【答案】一

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】解：（1）为实数时，

，即．

（2）为纯虚数时，

，即或．

18．【答案】解：（1）由，，．

所以，即．

故，又，即但

（2）由，即，得．

所以，．

故．

19．【答案】解：（1）设圆锥的底面半径为，母线长为．

由题意知，，即．

所以圆锥的底面积为．

（2）设圆柱的底面半径为，母线长为．

由（1）知，圆锥的高．

即得．

圆柱的侧面积．

所以圆柱的侧面积最大时，，．

此时圆柱的体积为．

20．【答案】解：（1）由，即．

所以．

由正弦定理得．

故，代入，得．

所以或．

经检验：时，不满足题意；时，满足题意．

所以．

（2）由（1）知，又，所以．

由正弦定理知

．

由三角形为锐角三角形，即，．

所以，．

故，

所以．

21．【答案】解：（1）在中，，故由正弦定理可得，即．

同理．故

为定值．

（2）在中，由余弦定理可得

即，

所以，．又由（1）有，

故，当且仅当时等号成立．

故当点位于的中点位置时，三条小径的长度和最小为．

22．【答案】解：（1）由为的角平分线，得．

又，即．

所以．

即，

当且仅当时等号成立．

（2）由，，得，．

在中，得，得．

在中，，得．

①当，即，得．

所以．

②在中，，得．

由，

又，得，．

所以最小值为．