湖南省名校联考联合体2020-2021学年高一下学期6月大联考数学试题+Word版含答案

湖南省名校联考联合体2021年春季高一大联考

数  学

时量：120分钟  满分：150分

得分：________

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

2．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知平面直角坐标系xOy中，原点为O，点，，C（3，0），则向量在向量方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

8．已知函数，且，则（    ）

A．  B．

C．  D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．若复数满足（i为虚数单位），则下列结论正确的有（    ）

A．z的虚部为  B．

C．z的共轭复数为 D．z是第三象限的点

10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则与共线

C．若，则

D．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

11．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论中正确的是（    ）

A．在中，若，则

B．若，则是等腰三角形

C．若，则是直角三角形

D．若，则是锐角三角形

12．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452.4—1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为．则下列关于双曲正、余弦函数结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．为偶函数，且存在最小值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若函数为偶函数，则的一个值为________．（写出一个即可）

14．已知向量，，若，则________．

15．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ．根据此公式，则________；________．（第一空2分，第二空3分）

16．在中，为钝角，，且，函数的最小值为，则的最小值为________．

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、BC上，且满足，，，设，．

（1）用，表示，；

（2）若，，求角A的值．

18．（本题满分12分）如图，四棱台，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且，，．

（1）求四棱台，的侧面积；

（2）求四棱合，的体积．（台体体积公式）

19．（本题满分12分）在条件①；②；③中任选一个，补充以下问题并解答：

如图所示，中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，________，且，D在AC上，．

（1）若，求；

（2）若，求AC的长．

20．（本题满分12分）已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，求面积的最大值．

21．（本题满分12分）今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且由市场调研知，海部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求出2021年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润销售额成本）；

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

22．（本题满分12分）已如函数，．

（1）若函数是奇函数，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；

（3）当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．

名校联考联合体2021年春季高一大联考

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C  【解析】，，则，即“”是“”的必要不充分条件．

2．B  【解析】函数在上单调递增且连续，且，；故函数的零点所在的一个区间是（2，3）．

3．B  【解析】由，得，则．

4．A  【解析】，，向量在向量方向上的投影向量为．

5．A  【解析】∵，，，∴．

6．C  【解析】由题意，三棱柱为直三棱柱，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱补成回棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为，则三棱柱外接球的表面积是．

7．B  【解析】法一：过F作于G，不坊设，，则，，所以，，，所以，，所以．

法二：，即，解得，即．

法三：建立直角坐标系用坐标解决．

8．A  【解析】令，则，是奇函数，且易知在R上递增，则在R上递增，又，故，故，．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．BC  【解析】∵，∴，虚部为，，共轭复数为，z是第四象限的点．

10．BC  【解析】当，在方向上的投影相同时，显然不一定成立，A错误；若，则向量夹角或，与同向或反向，共线，B正确；若，两边平方得，，即，C正确；若与的夹角为锐角，则，且，所以D不正确．

11．AC  【解析】在中，若，根据大边对大角，所以，利用正弦定理，所以，则，故选项A正确；对于选项B，∵，∴或，，即或，为等腰或直角三角形，即选项B错误；对于选项C，由余弦定理知，，化简整理得，∴为直角三角形，即选项C正确，（也可以化边为角）；对于选项D，只能说明C为锐角，而角A和B不确定，即选项D错误．

12．ACD  【解析】对于A．，故A正确；对于B．，故B错误；对于C，，故C正确；对于D．，故函数为偶函数，由于，故（当且仅当时，等号成立），故D正确．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（答案不唯一）  【解析】∵函数为偶函数，∴，，故可取．

14．  【解析】因为向量，，且，所以，即，所以．

5．0；  【解析】，，因此，．

16．  【解析】法一：由向量减法模的几何意义和函数的最小值为知，且O点在直线AB上，当时，最小，为．

法二：在中，为钝角，，函数的最小值为．

∴函数，

化为恒成立．

当且仅当时等号成立，代入得到，∴．

∴，

当且仅当时，取得最小值，

∴的最小值为．

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1），

．4分

（2）若，则，

即，∴，6分

又，

∴，8分

∴，即，

∴．10分

18．【解析】（1）∵侧面是全等的等腰梯形，，，，

∴斜高为，3分

则四棱台的侧面积为；6分

（2）∵侧面是全等的等腰梯形，，，，

∴四棱台的高为，9分

四棱台的体积为．12分

19．【解析】选①，

由正弦定理得，，

整理得，，由余弦定理得：，

由A为三角形内角得，；3分

选②，

由得，

因为，所以，即，由于，

所以，即，故；

选③，

所以，整理得，，

由正弦定理得，，由余弦定理得，，

由A为三角形内角得，；

（1）因为，，且，

所以为等边三角形，

所以，，，

中，由正弦定理得，，

即，

所以，6分

（2）设，则，，

中，由余弦定理得，，

故，．12分

20．【解析】（1）函数

，

令，求得，，

可得函数的单调递增区间为，．6分

（2）在中，若，∴，∴．

∴面积为．

∵，根据余弦定理可得，

∴，

∴面积为，

故面积的最大值为．

21．【解析】（1）当时，，2分

当时，，4分

∴5分

（2）若，，

当时，万元，7分

若，，9分

当且仅当时，即时，万元，11分

∴2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．12分

22．【解析】（1）函数为奇函数，

所以对于定义域内任意x，都有，即，

∴，

显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有．

上面等式左右两边同时乘以得，

化简得，上式对定义域内任意x恒成立，

所以必有，解得；3分

（2）由（1）如，所以，即，

由，得或，

所以函数定义域，

由题意，要求方程解的个数，

即求方程在定义域D上的解的个数．

令，显然在区间和均单调递增，

又，．

且，，

所以函数在区间和上各有一个零点，

即方程在定义域D上有2个解，

所以函数与函数的图象有2个公共点；7分

（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，

必须使在上恒成立，

令，则，上式整理得在恒成立．

因为在恒成立，即．

又，所以得在恒成立，

令，则，且，

所以，

由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立）

即，

所以，

所以a的取值范围是．12分