2021年江西省重点中学协作体高考数学第二次联考试卷

这是一份2021年江西省重点中学协作体高考数学第二次联考试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江西省重点中学协作体高考数学第二次联考试卷（理科）（5月份）
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+1＝0}，B＝{（x，y）|x+ay＝0}，若A∩B＝∅，则实数a＝（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
2．（5分）已知i为虚数单位，若复数，则下列结论正确的是（　　）
A．z的共轭复数是﹣1+2i B．z的虚部是2i
C．z2∈R D．
3．（5分）已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）设平面向量与向量互相垂直，且+2＝（﹣3，4），若||＝3，则||＝（　　）
A． B．2 C． D．4
5．（5分）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
6．（5分）曲线f（x）＝x2+xlnx在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣ay﹣1＝0平行，则a＝（　　）
A． B． C．1 D．2
7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，S5＝35，则S10＝（　　）
A．100 B．110 C．120 D．130
8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到奇函数g（x）的图象，则f（0）＝（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（　　）
A．28种 B．32种 C．36种 D．44种
10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，，，∠CAB＝60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知函数，若不等式f（x）≥﹣1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，0] B．（﹣1，0] C．[0，1] D．[0，e]
12．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是圆x2+y2＝4上两个不同的点，且满足x1x2+y1y2＝2，则|x1+y1﹣8|+|x2+y2﹣8|的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13．（5分）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为32．则该展开式中含x2项的系数为　 　．
14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为 　 　．
15．（5分）已知等比数列{an}满足a1+a2+a3+a4+a5＝6，a3＝3，则＝　 　．
16．（5分）已知抛物线x2＝2py（p＞0）与圆x2+y2＝5相交于点A（2，x0），点A关于原点O对称的点为B．若过点B的直线（且不过点A）与抛物线交于C，D两点，则直线AC与AD的斜率之积为 　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＝1+3cos（B+C）．
（1）求角A的值；
（2）点D在线段AC上，BD＝BC，且AC＝5，求边长BD．

18．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点且AD＝CE＝1．如图甲，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使四棱锥A1﹣DBCE的体积最大．连接A1B，A1C，如图乙，点M为A1D的中点.
（1）求证：EM∥平面A1BC；
（2）求二面角C﹣A1E﹣B的余弦值．
19．（12分）2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为p（），在B点的命中率为2p﹣1，且他们每次套圈互不影响．
（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；
（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X，乙的得分为Y，写出X和Y的分布列和期望；
（3）在（2）的条件下，若EX＞EY，求p的取值范围．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于两个不同的点A，B，点O为坐标原点，则当△AOB的面积S最大时，求线段AB的中点M的轨迹方程．
21．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣aex（a∈R），g（x）＝x（x﹣lnx+1）．
（1）讨论函数y＝f（x），x∈R的单调性；
（2）若对于任意的x∈（0，+∞），不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数）、在以O为极点x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρsin（+θ）﹣3．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（﹣4，0），直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为E，N是曲线C上异于A，B的点，求△MNE面积的最大值．
23．已知函数f（x）＝|x+m|+2|x﹣1|﹣5（m＞0）的一个零点为2，
（1）求不等式f（x）＜3的解集；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣|x﹣1|+5的最小值为t，且正实数a，b，c满足，求证：．

2021年江西省重点中学协作体高考数学第二次联考试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+1＝0}，B＝{（x，y）|x+ay＝0}，若A∩B＝∅，则实数a＝（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
【分析】根据题意可得出直线2x﹣y+1＝0和x+ay＝0平行，从而得出x，y的系数对应成比例，然后即可求出a的值．
【解答】解：∵A∩B＝∅，
∴直线2x﹣y+1＝0和直线x+ay＝0平行，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，空集的定义，直线的位置关系，两直线平行时，x，y的系数对应成比例，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知i为虚数单位，若复数，则下列结论正确的是（　　）
A．z的共轭复数是﹣1+2i B．z的虚部是2i
C．z2∈R D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：＝＝1+2i，
A：∵z的共轭复数为1﹣2i，∴A错误，
B：∵z的虚部为2，∴B错误，
C：∵z2＝（1+2i）2＝1+4i+4i2＝﹣3+4i，∴C错误，
D：∵|z|＝＝，∴D正确．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
3．（5分）已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用双曲线的离心率以及双曲线结果的点，求解a，b，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线的离心率为，且经过点，
可得：，解得a＝1，b＝，c＝，
所以双曲线方程为：．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
4．（5分）设平面向量与向量互相垂直，且+2＝（﹣3，4），若||＝3，则||＝（　　）
A． B．2 C． D．4
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，计算求得结果．
【解答】解：∵平面向量与向量互相垂直，∴•＝0，
∵+2＝（﹣3，4），||＝3，
∴|+2|＝＝＝＝＝5，
∴＝4，
∴||＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，属于基础题．
5．（5分）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求出．
【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，
则b＞a＞1，
log0.70.8＜log0.70.7＝1，
∴c＜a＜b，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
6．（5分）曲线f（x）＝x2+xlnx在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣ay﹣1＝0平行，则a＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】本题先对f（x）求一阶导数，然后计算出f'（1）的值即为曲线f（x）＝x2+xlnx在点（1，f（1））处的切线斜率，根据题意切线与直线x﹣ay﹣1＝0平行，故斜率相等，列出算式可得a的值．
【解答】解：由题意，f'（x）＝2x+lnx+1，
故曲线f（x）＝x2+xlnx在点（1，f（1））处的切线斜率k＝f'（1）＝2+0+1＝3，
∵该切线与直线x﹣ay﹣1＝0平行，而直线x﹣ay﹣1＝0的斜率k＝．
∴，即．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用导数求曲线上某点处的切线斜率，以及平行则斜率相等的基本知识．考查了数学运算能力．本题属基础题．
7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，S5＝35，则S10＝（　　）
A．100 B．110 C．120 D．130
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a2＝5，S5＝35可求出a1和d，再利用S10＝10a1+•d即可求出结果．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝5a3＝35，解得a5＝7，所以d＝a3﹣a2＝7﹣5＝2，a1＝a2﹣d＝5﹣2＝3．
所以S10＝10×3+×2＝30+90＝120．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和，考查运算求解能力，考查的数学学科核心素养是数学运算，属于简单题．
8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到奇函数g（x）的图象，则f（0）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由周期性求出ω，由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的奇偶性求出θ，可得函数的解析式，从而求出f（0）的值．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，）的图象上，
相邻的两条对称轴之间的距离为×＝，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+θ）．
将函数f（x）的图象向左平移后得到奇函数g（x）＝sin（2x++θ）的图象，
∴+θ＝kπ，k∈Z，∴θ＝，f（x）＝sin（2x+），
则f（0）＝sin＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
9．（5分）2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（　　）
A．28种 B．32种 C．36种 D．44种
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①高校甲排第二个，丁高校排第三个，②高校甲排第三个，丁高校排第四个，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①高校甲排第二个，丁高校排第三个，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，有4A22＝8种顺序，
剩下两个高校全排列，有A22＝2种顺序，
则有8×2＝16种不同的顺序；
②高校甲排第三个，丁高校排第四个，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，有4A22＝8种顺序，
剩下两个高校全排列，有A22＝2种顺序，
则有8×2＝16种不同的顺序；
则有16+16＝32种不同的顺序，
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，，，∠CAB＝60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由余弦定理求出BC，从而得到∠ABC是直角，因此AC的中点D是△ABC的外心，证明PD⊥平面ABC，可得△PAC的外心即三棱锥外接球的球心，求出球的半径即可得到球的体积．
【解答】解：在△ABC中，＝＝3，
所以AC2＝AB2+BC2，则∠ABC＝90°，
设点D是AC的中点，则D是△ABC的外心，
又△PAC是等边三角形，则PD⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面PAC，
所以PD⊥平面ABC，
则△PAC的外心即三棱锥P﹣ABC外接球的球心，
所以球的半径R＝，
则球的体积为．
故选：C．

【点评】本题考查了球的体积，解题的关键是找到外接球的球心，求出球的半径，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
11．（5分）已知函数，若不等式f（x）≥﹣1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，0] B．（﹣1，0] C．[0，1] D．[0，e]
【分析】根据题意，由函数的解析式可得在区间（﹣∞，0]上，有f（x）≥f（0）＝﹣1，原问题等价于区间（0，+∞）上，f（x）＝ax（lnx﹣1）≥﹣1恒成立，设g（x）＝x（lnx﹣1），x∈（0，+∞），求出g（x）的导数，分析g（x）的单调性可得g（x）的最小值，则原问题变现为ag（x）≥﹣1在区间（0，+∞）恒成立，分3种情况讨论a的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，当x≤0时，即在区间（﹣∞，0]上，f（x）＝e﹣x﹣2＝（）x﹣2，
则f（x）在区间（﹣∞，0]上为减函数，则有f（x）≥f（0）＝﹣1，
若不等式f（x）≥﹣1恒成立，必有在区间（0，+∞）上，f（x）＝ax（lnx﹣1）≥﹣1恒成立，
设g（x）＝x（lnx﹣1），x∈（0，+∞），
其导数g′（x）＝lnx+1﹣1＝lnx，
在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故在区间（0，+∞）上，g（x）≥g（1）＝﹣1，其g（x）为最大值；
在区间（0，+∞）上，f（x）＝ax（lnx﹣1）≥﹣1恒成立，即ag（x）≥﹣1恒成立，
当a＝0时，不等式为0≥﹣1，恒成立，
当a＜0时，不等式等价于g（x）≤﹣，不能恒成立，不符合题意，
当a＞0时，不等式等价于g（x）≥﹣，则有﹣≤﹣1，即≥1，又由a＞0，解可得0＜a≤1，
综合可得：0≤a≤1，即a的取值范围为[0，1]；
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性与最值的应用，涉及函数的恒成立问题，属于中档题．
12．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是圆x2+y2＝4上两个不同的点，且满足x1x2+y1y2＝2，则|x1+y1﹣8|+|x2+y2﹣8|的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由向量数量积求得∠AOB，设x1＝2cosθ，y1＝2sinθ，，，可得x1+y1﹣8＜0，x2+y2﹣8＜0，取绝对值后利用三角函数求最值．
【解答】解：∵，∴cos∠AOB＝，
∵0≤∠AOB≤π，∴，
不妨设x1＝2cosθ，y1＝2sinθ，，，
x1+y1﹣8＝2cosθ+2sinθ﹣8＝＜0，同理可得x2+y2﹣8＜0，
∴|x1+y1﹣8|+|x2+y2﹣8|＝16﹣（x1+x2+y1+y2）
＝16﹣[2cosθ+2cos（）+2sinθ+2sin（）]
＝16﹣（2cosθ+cosθ+sinθ+）
＝16﹣[（3﹣）sinθ+（3+）cosθ]
＝16﹣（θ+φ）
＝16﹣2sin（θ+φ）≤16+2．
其中φ为锐角，且tanφ＝＝．
故|x1+y1﹣8|+|x2+y2﹣8|的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13．（5分）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为32．则该展开式中含x2项的系数为　40　．
【分析】根据二项式系数之和为32．求出n＝5，然后求出通项公式，令x的次数为2，进行求解即可．
【解答】解：∵二项式系数之和为32．
∴2n＝32，得n＝5，
则展开式的通项公式Tk+1＝Cx5﹣k•（﹣）k＝（﹣2）k•Cx，
由5﹣k﹣＝2得＝3，得k＝2，
即x2项的系数（﹣2）2•C＝4×10＝40，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据二项式系数求出n，以及利用通项公式进行求解是解决本题的关键，是基础题．
14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为 　﹣19　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（﹣3，8），
由z＝x﹣2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣19．
故答案为：﹣19．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
15．（5分）已知等比数列{an}满足a1+a2+a3+a4+a5＝6，a3＝3，则＝　　．
【分析】直接利用数列通项公式的求法和数列的通项公式的应用求出结果．
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，由于满足a1+a2+a3+a4+a5＝6，
所以，
所以，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16．（5分）已知抛物线x2＝2py（p＞0）与圆x2+y2＝5相交于点A（2，x0），点A关于原点O对称的点为B．若过点B的直线（且不过点A）与抛物线交于C，D两点，则直线AC与AD的斜率之积为 　　．
【分析】利用圆x2+y2＝5与抛物线x2＝2py（p＞0）的交点为点A（2，x0），即可求p的值及抛物线的方程，联立方程，利用韦达定理、斜率公式即可求解；
【解答】解：由题意，设抛物线x2＝2py（p＞0）与圆x2+y2＝5在第一象限内的交点为A（2，x0），
∴4+x02＝5，∴x02＝1，即A（2，±1）将A的坐标代入x2＝2py，可得p＝2；
不妨令A（2，1），则B（﹣2，﹣1），
过点B的直线（且不过点A）方程设为y＝k（x+2）﹣1，
联立可得x2﹣4kx﹣8k+4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8k+4，
kAC•kAD＝•＝＝
＝[x1x2+2（x1+x2）+4]＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线位置关系，考查了适应能力，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＝1+3cos（B+C）．
（1）求角A的值；
（2）点D在线段AC上，BD＝BC，且AC＝5，求边长BD．

【分析】（1）根据已知条件，结合二倍角公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角函数的同角公式、正弦定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵cos2A＝1+3cos（B+C）
又∵cos2A＝2cos2A﹣1，cos（B+C）＝﹣cosA，
∴2cos2A+3cosA﹣2＝0，即（cosA+2）（2cosA﹣1）＝0，
∴，．
（2）∵，sin2∠ABD+cos2∠ABD＝1，
∴，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
故sin∠ABC＝
由正弦定理得，
∴BC＝7，即BD＝7．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
18．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点且AD＝CE＝1．如图甲，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使四棱锥A1﹣DBCE的体积最大．连接A1B，A1C，如图乙，点M为A1D的中点.
（1）求证：EM∥平面A1BC；
（2）求二面角C﹣A1E﹣B的余弦值．
【分析】（1）取BD的中点N，连接NE，则NE∥BC，在四棱锥A1﹣DBCE中，NE∥BC，连接MN，推出MN∥A1B，证明平面MNE∥平面A1BC，即可推出EM∥平面A1BC．
（2）以D为原点，DB、DE、DA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面CEA1的法向量，平面BEA1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
【解答】（1）证明：取BD的中点N，连接NE，则NE∥BC，
在四棱锥A1﹣DBCE中，NE∥BC，连接MN，

在△DA1B中，MN∥A1B，所以平面MNE∥平面A1BC，所以EM∥平面A1BC．……………………（4分）
（2）由AD＝CE＝1知，所以AD2+DE2＝AE2，所以AD⊥DE．当体积最大时A1D⊥平面BCDE．……………（6分）
以D为原点，DB、DE、DA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则，，A1（0，0，1），B（2，0，0）．


设平面CEA1的法向量为，平面BEA1的法向量为
则，，即，，
取，，……………………（9分）
所以．……………………（11分）
所以二面角C﹣A1E﹣B的余弦值为．……………………（12分）
【点评】本题考查平面与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（12分）2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为p（），在B点的命中率为2p﹣1，且他们每次套圈互不影响．
（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；
（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X，乙的得分为Y，写出X和Y的分布列和期望；
（3）在（2）的条件下，若EX＞EY，求p的取值范围．
【分析】（1）设“甲至少命中2次”为事件C，利用独立事件以及独立事件的概率求解即可．
（2）X＝0，2，3，5，Y＝0，2，3，5，求出概率得到X的分布列然后求解期望．
（3）列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设“甲至少命中2次”为事件C，则P（C）＝1﹣﹣×＝，
故甲至少命中2次的概率为．……………（4分）
（2）由题意知，X＝0，2，3，5，Y＝0，2，3，5，，，，
P（Y＝0）＝（1﹣p）（2﹣2p）＝2（1﹣p）2＝2p2﹣4p+2，
P（Y＝2）＝2p（1﹣p）＝﹣2p2+2p，
P（Y＝3）＝（1﹣p）（2p﹣1）＝﹣2p2+3p﹣1，
P（Y＝5）＝p（2p﹣1）＝2p2﹣p．
∴X的分布列为
X
0
2
3
5
P




……………（7分）
Y的分布列为
X
0
2
3
5
P
2p2﹣4p+2
﹣2p2+2p
﹣2p2+3p﹣1
2p2﹣p
∴，E（Y）＝8p﹣3．……………（10分）
（3）∵EX＞EY，
∴，即，
∴p的取值范围是．……………（12分）
【点评】本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于两个不同的点A，B，点O为坐标原点，则当△AOB的面积S最大时，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【分析】（1）通过椭圆的焦点坐标，结合点在椭圆上，求解a，b，即可得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积的最大值，推出m2＝2k2+1，然后求解中点坐标的轨迹方程．
【解答】解：（1）由题意知，
解得，故椭圆C的方程为；……………………（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线l：y＝kx+m与椭圆C交于两个不同的点A，B，
由，得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4＝0，△＝32k2﹣8m2+16＝8（4k2﹣m2+2），
则，点O到直线l的距离，

＝，
S取得最大值，
当且仅当m2＝4k2+2﹣m2，即m2＝2k2+1时成立，①
符合△＞0，…………（9分）
此时，
即代入①式，整理得，
即点M的轨迹为椭圆……………（12分）
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
21．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣aex（a∈R），g（x）＝x（x﹣lnx+1）．
（1）讨论函数y＝f（x），x∈R的单调性；
（2）若对于任意的x∈（0，+∞），不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出导函数f′（x）＝2﹣aex，通过a的范围，判断函数的单调性求解单调区间即可．
（2）不等式f（x）＞g（x），即aex＜x（lnx﹣x+1），得到，令，令，，利用函数的对数判断函数的单调性，令t＝φ（x），则，设m（t）＝t（lnt+1），则m′（t）＝lnt+2．求出函数的单调区间求解函数的最小值，得到a的范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝2﹣aex，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，……………（2分）
当a＞0时，令f′（x）＝2﹣aex＝0，得，
则时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．……………（5分）
（2）不等式f（x）＞g（x），即aex＜x（lnx﹣x+1），
因为ex＞0，所以，……………（6分）
令，
令，，则当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以φ（x）≤φ（1），即，……………（8分）
令t＝φ（x），则，
设m（t）＝t（lnt+1），则m′（t）＝lnt+2．
所以当时，m′（x）＜0，当时，m′（x）＞0，
所以m（t）在上单调递减，在上单调递增，……………（10分）
所以．即h（x）的最小值为，
所以实数a的取值范围为．……………（12分）
【点评】本题考查函数的导数的应用，考查发现问题解决问题的能力，构造法的应用，是难题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数）、在以O为极点x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρsin（+θ）﹣3．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（﹣4，0），直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为E，N是曲线C上异于A，B的点，求△MNE面积的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（其中t为参数）、转换为普通方程为．
曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρsin（+θ）﹣3，根据，转换为直角坐标方程为．
（2）点M恰好在直线l上，将代入中，
化简整理得，
设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，
则，t1t2＝43，
所以点E对应的参数为．
又曲线C的圆心为C（3，），半径为3的圆，
所以圆心为C到直线l的距离d＝，所以动点N到直线EM最大距离为5，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23．已知函数f（x）＝|x+m|+2|x﹣1|﹣5（m＞0）的一个零点为2，
（1）求不等式f（x）＜3的解集；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣|x﹣1|+5的最小值为t，且正实数a，b，c满足，求证：．
【分析】（1）把x＝2代入求得m值，然后去绝对值，把不等式f（x）＜3转化为三个不等式组求解；
（2）利用绝对值不等式的性质求得g（x）的最小值，可得a+b+，两边平方后变形，再由基本不等式证得结论．
【解答】解：（1）f（2）＝|2+m|﹣3＝0，又m＞0，∴m＝1，
∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|﹣5，
则f（x）＜3⇔，或，或，
解得＜x≤﹣1或﹣1＜x＜1或1≤x＜3，
∴不等式f（x）＜3的解集是；
证明：（2）g（x）＝f（x）﹣|x﹣1|+5＝|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，
即a+b+，∴
＝＝
+
＝（当且仅当a＝b＝时，等号成立），
故．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
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