一轮大题专练8—导数（构造函数证明不等式2）-2022届高三数学一轮复习

一轮大题专练8—导数（构造函数证明不等式2）

1．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，．

解：（1）函数的定义域为，，

令，

当时，，此时在上单调递减；

当时，为二次函数，△，

①若△，即时，的图象为开口向下的抛物线且，则，此时在上5单调递减；

②当△，即或时，令，解得，

当时，的图象为开口向下的抛物线，，

当，，时，，则，单调递减，当，时，，则，单调递增；

当时，的图象为开口向上的抛物线，，

当，，则，单调递减，当，，，则，单调递增；

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减．

（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，

因此对任意恒有（1），即，

又，要证，只需证，

令，则，，

，

，则在，上单调递增，又（1），

当时，恒成立，则在，上单调递增，又（1），

对任意恒有（1），即，即得证．

2．已知函数．

（1）求在处的切线方程；

（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：．

解：（1），

，，

故时的切线方程是，

即；

（2）证明：由（1）知：在递减，在递增，

，，

当时，方程有2个实根，，则，，

令，

则，

令，则，

故在递增，故，

故在递增，故，故，

故，

故，

故时，，故，

故．

3．已知函数与．是自然对数的底数，

（1）讨论关于的方程根的个数；

（2）当，时，证明：．

解：（1）令，，，

当时，不满足

当时，，

，，，

因此在区间上单调递增，

（1），在区间上单调递减，

，，根据零点定理，在上存在唯一零点．

当，，，

，，，，在上单调递增，

（1），（e），

根据零点定理，在上存在唯一零点，

因此，根的个数为2个．

（2）

设，，，

在，上单调递减，在，上单调递减，，

所以，，

要证明，仅需要证明，

设，

，

当，，

在该区间上单调递增，

所以，，

所以，，

综上所述，当，时，．

4．已知．

（1）求的单调区间；

（2），若有两个零点，，且．求证：．（左边和右边两个不等式可只选一个证即可）

解：（1），

当时，，在单调递增；

当时，令，解得，令，解得，

在单调递增，在单调递减；

综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）证明：，令，则，

设，则，

易知函数在单调递减，在单调递增，且时，，当时，，（1），

，

又，则，

①若证所证不等式的左边，即，即证，

又（b），则，故即证，即证，

设（b），，则，

（b）在上单调递减，

（b）（1），即得证；

②若证所证不等式的右边，即，即证，即证，

又（a），即，故即证，即证，

设（a），，则，

（a）在单调递减，故（a）（1），即得证．

5．已知函数，且函数与有相同的极值点．

（1）求实数的值；

（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：．

解：（1）令，解得，

易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，

令，则由题意有，（1），解得，经验证符合题意，

故实数的值为1；

（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，

又，且，

当时，（1），（3），

①当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，

则，

，

又，

此时的取值范围为；

②当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，

则，

，

又，

此时的取值范围为，

综上，实数的取值范围为，，；

（3）证明：所证不等式即为，

下证：，即证，

设，则，，

易知函数在上单调递减，且，

故存在唯一的，使得，即，，

且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，

，

在单调递减，

又时，，故，即；

再证：，即证在上恒成立，

设，，

在单调递增，则，故，

综上，，即得证．

6．已知函数．

（1）讨论的极值情况；

（2）若时，，求证：．

解：（1）的定义域是，，

①时，，在上单调递增，无极值，

②时，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

故，无极大值；

综上：时，在上单调递增，无极值，

时，，无极大值；

（2）证明：①时，，使，

则，，此时成立，

②时，由（1）得时，，

，则，解得：，

故，

设，则，

为上的减函数，且，，

则存在唯一实数，，使得，，

当时，，递增，

当，时，，递减，

故当时，的最大值是，

为，上的增函数，

时，，则，

故（a），原结论成立．