一轮复习大题专练25—解三角形（求值问题2）-2022届高三数学一轮复习

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一轮复习大题专练25—解三角形（求值问题2）1．如图，（1）在圆的内接四边形中，，，，求的值；（2）在圆的内接四边形中，，，的面积为，求的值．解：连接，则中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，由圆内接四边形性质可知，，所以，解得；（2）因为，，所以，，由题意，，由余弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以． 2．在四边形中，，，，，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求的长．解：中，由余弦定理得，由为三角形内角得，；因为，所以，中，由正弦定理得，，即，所以，因为，所以，中，由正弦定理得，即，所以．3．如图，在四边形中，，，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．解：，，，，，由正弦定理得，即，所以；由题意得为锐角，结合得，因为，所以，，由余弦定理得，，解得，由余弦定理得，所以．4．在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求；（2）如图，圆是的外接圆，延长交于点，过圆心作交于点，且，求的长．解：（1）由余弦定理知，，，，化简得，由余弦定理知，，，．（2）由正弦定理知，，，延长，交圆于点，作于点，则，，为等边三角形，，，，，，，，，即点为的中点，．5．△ABC中，AB＝2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．（1）若sin∠ABC＝，求cos∠BAC；（2）若AD＝AC，且△ABC的面积为，求BC．解：（1）由正弦定理得，AB＝2AC，C＞A，又∵sin∠ABC＝，∴sin∠ACB＝，∵sin2∠ABC+cos2∠ABC＝1，∵AB＝2AC，∴C＞B，即大边对大角，，又∵sin2∠ACB+cos2∠ACB＝1，∴，∵cos∠CAB＝cos（π﹣∠ABC﹣∠ACB）＝﹣cos（∠ABC+∠ACB），∴cos∠CAB＝sin∠ABCsin∠ACB﹣cos∠ABCcos∠ACB＝ 或，（2）设AB＝2AC＝2t，∠CAD＝θ，∴AD＝AC＝t，∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，∴，∴2sinθ•cosθ＝sinθ+sinθ，∵θ为三角形的内角，sinθ≠0，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ﹣1＝，∵sin22θ+cos22θ＝1，∴，又∵＝，∴，在△ABC中，运用余弦定理可得，BC2＝t2+4t2﹣2•2t•t•cos2θ＝，∴． 6．已知的最大值为2，其中，（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且，求（A）的值．解：，其中，，，，，令，，解得，，的单调增区间为，．已知，由正弦定理可得，即，即，即，即，又，，，．