一轮复习大题专练27—数列（分组、并项求和）-2022届高三数学一轮复习

一轮复习大题专练27—数列（分组、并项求和）

1．已知数列的前项和为．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求数列前2021项之和．

解：（Ⅰ），可得时，；

时，，

上式对也成立．

所以，；

（Ⅱ），

则，

，

．

根据正弦函数的周期性可得，

．

2．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有改选牛肉丸子面．用，分别表示在第个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且．

（1）证明：数列是常数列；

（2）若，求数列的前项和．

（1）证明：，

，，

根据题意，可得，

解之可得，，

，

，即得数列是常数列；

（2）由（1）可得，，

，

．

．

3．已知等差数列满足，．

（1）求数列的通项；

（2）若，求数列的前40项和．

解：（1）设等差数列的公差为，

由，

，

得，

．

（2），

①为奇数时，．

②为偶数时，，时，，

当，时，，

4．已知等比数列的公比，，且是，的等差中项，数列满足，数列的前项和为，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

解：是，的等差中项，

，即，

，

，

，

通项公式：．

令，则数列的前项和为，

当时，，

当时，也满足，

则的通项公式，

，

，

当时，，

，

当时，，也满足，

则的通项公式，

设，其前项和为，

则，

运用数列的错位相加减，

，①

，②

由①②可得，

，

．

5．已知等差数列满足公差，前项的和为，，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前100项的和．

解：（1）等差数列满足公差，前项的和为，，且，，成等比数列．

所以，

整理得：，解得，

故．

（2）由（1）得：，

所以：，，，，

故．

6．已知数列，满足，，．

（Ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）求．

证明：（Ⅰ），

，

，

，

，

，

，

是以2为首项，以2为公差的等比数列，

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

，

，

7．已知数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

解：（1）数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，，

设数列的公比为，

则，

由于，

故，解得或．

由于数列为正项数列，

所以．

则．

（2）由（1）知：，

所以，

当为偶数时，则，

当为奇数时，则．

故．