高中物理人教版 (新课标)必修13 匀变速直线运动的位移与时间的关系导学案

3　匀变速直线运动的位移与时间的关系

[学习目标]　1.知道匀速直线运动的位移与v­t图象中矩形面积的对应关系. 2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题．(重点、难点)3.知道x­t图象，能应用x­t图象分析物体的运动．(难点)4.了解利用极限思想推导位移公式的方法.

一、匀速直线运动的位移

1．位移公式：x＝vt.

2．v­t图象特点

(1)平行于时间轴的直线．

(2)位移在数值上等于v­t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示．

二、匀变速直线运动的位移

1．位移在v­t图象中的表示

(1)微元法推导

①把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．

②把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．

③把整个过程分得非常非常细，如图丙所示，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．

甲　　　　　乙　　　 　　　丙

(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v­t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．

2．位移与时间的关系

⇨x＝v0t＋at2.

三、用图象表示位移

1．x­t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象．

2．常见的x­t图象

(1)静止：一条平行于时间轴的直线．

(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线．

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)匀速直线运动物体的运动轨迹就是它的x­t图象． (×)

(2)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动． (×)

(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．  (×)

(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．  (√)

2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为(　　)

A．4 m/s　4 m　　　　 B．2 m/s　4 m

C．4 m/s　2 m   D．2 m/s　2 m

A　[物体初速度v0＝0，a＝2 m/s2，t＝2 s，

则v＝v0＋at＝0＋2×2 m/s＝4 m/s，

x＝v0t＋at2＝0＋×2×22 m＝4 m，

故A正确．]

3．某物体做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s，经过10 s的时间，末速度v＝6 m/s，其v­t图象如图所示，则10 s内位移为(　　)

A．8 m   B．80 m

C．4 m   D．40 m

D　[在v­t图象中梯形面积代表匀变速直线运动的位移，x＝ m＝40 m，故D正确．]

1.公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．

2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：

3.公式的两种特殊形式

(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．

(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．

【例1】　国歌从响起到结束的时间是48 s，国旗上升的高度是17.6 m．国歌响起同时国旗开始向上做匀加速运动4 s，然后匀速运动，最后匀减速运动4 s到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束．求：

(1)国旗匀加速运动的加速度大小；

(2)国旗匀速运动时的速度大小．

思路点拨：①国旗上升的高度是国旗匀加速运动、匀速运动、匀减速运动的位移之和．

②国旗匀速上升的时间为48 s－4 s－4 s＝40 s.

③国旗匀加速运动的末速度为国旗匀速上升的速度．

[解析]　由题意知，国旗匀加速上升时间t1＝4 s，匀减速上升时间t3＝4 s，匀速上升时间t2＝t总－t1－t3＝40 s，对于国旗加速上升阶段：x1＝a1t

对于国旗匀速上升阶段：v＝a1t1，x2＝vt2

对于国旗减速上升阶段：

x3＝vt3－a2t

根据运动的对称性，对于全过程：a1＝a2

x1＋x2＋x3＝17.6 m

由以上各式可得：a1＝0.1 m/s2

v＝0.4 m/s.

[答案]　(1)0.1 m/s2　(2)0.4 m/s

对公式x＝v0t－at 2的理解

(1)表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动．

(2)a表示加速度的大小，即加速度的绝对值．

1．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为(　　)

A．1∶1　　　　　　　　 B．1∶3

C．3∶4   D．4∶3

C　[汽车从刹车到停止用时t刹＝＝ s＝4 s，故刹车后2 s和6 s内汽车的位移分别为x1＝v0t－at2＝20×2 m－×5×22 m＝30 m，x2＝v0t刹－at＝20×4 m－×5×42 m＝40 m，x1∶x2＝3∶4，故C正确．]

1．x­t图象的物理意义：x­t图象反映了物体的位移随时间的变化关系，图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移．

2．x­t图象的应用

3.两点提醒

(1)位移—时间图象不是物体的运动轨迹．

(2)位移—时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动．

【例2】　某一做直线运动的物体的图象如图所示，根据图象求：

(1)物体距出发点的最远距离；

(2)前4 s内物体的位移；

(3)前4 s内物体通过的路程．

思路点拨：①t＝1 s时物体速度最大，t＝3 s时物体速度方向将发生改变，此时位移最大．

②利用v -t图象求位移一般采用“面积”法计算，即计算v -t图线与时间轴所围成的面积．

[解析]　(1)物体距出发点最远的距离

xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m.

(2)前4 s内的位移

x＝x1－x2＝v1t1－v2t2

＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m.

(3)前4 s内通过的路程

s＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2

＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m.

[答案]　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m

上例中，若将图象的纵轴改为位移x，其他条件不变，求：

(1)物体距出发点的最远距离；

(2)物体的最大速度．

[提示]　(1)4 m.

(2)最大速度在0～1 s内v＝ m/s＝4 m/s.

1v-t图象与t轴所围的“面积”表示位移的大小.

2面积在t轴以上表示位移是正值，在t轴以下表示位移是负值.

3物体的总位移等于各部分位移正负面积的代数和.

4物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和.)

2.一质点的v -t图象如图所示，求它在前2 s内和前4 s内的位移．

[解析]　位移大小等于图线与时间轴t所围成的面积，在前2 s内的位移x1＝2×5× m＝5 m；在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0.

[答案]　5 m　0

1.平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝(v0＋v)＝.

推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.

由x＝v0t＋at2得， ①

平均速度＝＝v0＋at ②

由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，

v＝v0＋a ③

由②③得＝v ④

又v＝v＋a ⑤

联立以上各式解得v＝，所以＝v＝.

2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2

推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2 ①

在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2 ②

则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1 ③

联立①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2

此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．

【例3】　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度．

[解析]　解法一：基本公式法

如图所示，由位移公式得x1＝vAT＋aT2

x2＝vA·2T＋a(2T)2－

vC＝vA＋a·2T

将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.

解法二：平均速度法

连续两段相等时间T内的平均速度分别为1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s

且1＝，2＝，由于B是A、C的中间时刻，则vB＝＝＝ m/s＝11 m/s

解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s

加速度为a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.

解法三：逐差法

由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2

又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T

联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.

[答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2

速度的四种求解方法

(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解．

(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度．

(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度．平均速度整个过程不变．

(4)图象法，通过画v­t图象求解．

3．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，则该质点运动过程中(　　)

A．初速度大小为零

B．加速度大小为4 m/s2

C．第4 s内的平均速度为8 m/s

D．5 s内的位移为50 m

B　[根据题意，v2.5＝12 m/s，v4.5＝20 m/s，故a＝＝＝ m/s2＝4 m/s2，选项B正确；初速度大小v0＝v2.5－at2.5＝12 m/s－4 m/s2×2.5 s＝2 m/s，选项A错误；第4 s内的平均速度等于3.5 s时刻的瞬时速度，即为v3.5＝v2.5＋at1＝12 m/s＋4×1 m/s＝16 m/s，选项C错误；5 s内的位移为x＝v0t5＋at＝60 m，选项D错误．]

1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t 2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)

A．4 m/s与2 m/s2　　　　 B．0与4 m/s2

C．4 m/s与4 m/s2   D．4 m/s与0

C　[对比x＝4t＋2t 2和位移公式x＝v0t＋at 2，可知其初速度v0＝4 m/s,2＝a，则加速度a＝4 m/s2.]

2．折线ABCD和曲线OE分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图象，如图所示，t＝2 s时，两图线相交于C点，下列说法正确的是(　　)

A．两个物体同时、同地、同向出发

B．第3 s内，甲、乙运动方向相反

C．2～4 s内，甲做减速运动，乙做加速运动

D．第2 s末，甲、乙未相遇

B　[两物体同时、同向出发，但不是同地出发，A错误；第3 s内甲图线的斜率为负，向负方向运动，乙图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，B正确；2～4 s内，甲沿负方向做匀速直线运动，乙沿正方向做加速运动，C错误；第2 s末，甲、乙的位置相同，甲、乙相遇，D错误．]

3．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内滑行114 m．问：

(1)第5 s末的速度大小是多少？

(2)飞机着陆后12 s内滑行多远？

[解析]　(1)最初2 s内的位移x1＝v0t＋at 2，

代入数据解得：a＝－3 m/s2，

5 s末的速度v2＝v0＋at＝45 m/s.

(2)着陆减速总时间t＝＝20 s，

飞机着陆后12 s内的位移

x2＝v0t＋at 2＝504 m.

[答案]　(1)45 m/s　(2)504 m