浙江省宁波市海曙区效实中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案

这是一份浙江省宁波市海曙区效实中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省宁波市海曙区效实高级中学校2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
1.在 ΔABC 中， A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a=1,B=60°,c=2 ，则 b= （   ）
A. 1                                        B. 7                                        C. 5                                        D. 3
2.已知 i 是虚数单位，设复数 z=i2021+1 ，则 z 的虚部为（   ）
A. 1                                          B. -1                                          C. i                                          D. -i
3.已知 m,n 是两条不同的直线， α,β 是两个不同的平面，则（   ）
A. 若m∥α，n//α，则m//n                                    B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C. 若α∥β，m⊥α，n//β，则m⊥n                         D. 若m∥n，n⊂α，则m//α
4.如图， ΔA'O'B' 表示水平放置的 ΔAOB 的直观图.点 B' 在 x' 轴上， A'O' 和 x' 轴垂直，且 A'O'=2 ，则 ΔAOB 的边 OB 上的高为（   ）

A. 2                                        B. 22                                        C. 42                                        D. 4
5.设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ，定义 a 与 b 的“向量积”： a×b 是一个向量，它的模 |a×b|=|a||b|sinθ ，若 a=(2,0)，b=(1,3), ，则 |a×b| =（   ）
A. 2                                         B. 23                                         C. 3                                         D. 1
6.已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 c=2acosB ，则 ΔABC 一定为（   ）
A. 直角三角形                    B. 等腰三角形                    C. 等边三角形                    D. 等腰直角三角形
7.若非零向量 b=3a-2c,|b|=|c|=2|a| ，则 a 与 b 的夹角余弦值为（   ）
A. 34                                       B. 14                                       C. -34                                       D. -14
8.若 O 是 ΔABC 的垂心， ∠A=π3,sinBcosCAB+sinCcosBAC=msinBsinCAO ，则 m= （   ）
A. 1                                        B. 33                                        C. 3                                        D. 32
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
9.已知 i 是虚数单位，下列说法正确的是（   ）
A. 若复数 z 满足 z2∈R,则z∈R                        B. 若复数 z 满足 z∈R,则z∈R
C. 若复数 z=2i1+i ，则 |z| 的值为2                        D. 若复数 z 满足 |z+i|=|z-3i| ，则 |z| 的最小值为1
10.下列说法正确的是（   ）
A. 在 ΔABC 中，若 AB⋅BC>0 ，则 ΔABC 为锐角三角形
B. 若 a=(3,4),b=(-1,2) ，则 a 在 b 方向上的投影向量为 (-1,2)
C. 若 a=(1,k)，b=(2,2) ，且 a+b 与 a 共线，则 a⊥b
D. 设 M 是 ΔABC 所在平面内一点，且 MB+32MA+32MC=0, 则 SΔABCSΔMAC=4
11.在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 为线段 BD1 上的动点，下列命题正确的是（   ）
A. 存在点 M ，使得 C1M//平面AB1C
B. 存在点 M ，使得直线 C1M 与直线 AD1 是异面直线
C. 存在点 M ，使得直线 C1M 与直线 AB 所成角为60°
D. 任意点 M ，都使得直线 C1M⊥A1D
12.如图，在 ΔABC 中， BC=3AC,∠BAC=60∘ ，点 D 与点 B 分别在直线 AC 两侧，且 AD=1,DC=3 ，当 BD 长度为何值时， ΔACD 恰有一解（   ）

A. 2110                                       B. 3                                       C. 26                                       D. 33
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
13.复数 z 的共轭复数为 z ，已知 2z-z=6i （ i 是虚数单位），则 z= ________
14.如图，四棱锥 S-ABCD 的所有棱长都等于2，点 E 为线段 SA 的中点，过 C,D,E 三点的平面与 SB 交于点 F ，则四边形 DEFC 的周长为________

15.在 ΔABC 中， AD 是 BC 边上的中线， AB=3，AC=2,AD=1 ，则 ΔABC 的面积为________.
16.已知向量 a,b,|a|=1,|b|=2 ，若对任意的单位向量 e ，均有 |a⋅e|+|b⋅e|≥12 ，则 a⋅b 的取值范围是________
四、解答题：本大题共5小题，共48分.
17.已知 i 是虚数单位，设复数 z1=1+i,z2=m-2i(m∈R) .
（1）若 z1z2 为纯虚数，求 m 的值；
（2）若 z2z1 在复平面上对应的点位于第三象限，求 m 的取值范围.
18.如图，在平面四边形 ABCD 中， AC=CD=AD=BC=2,BC⊥CA .

（1）求 BA⋅BD 的值；
（2）若 BD=mBA+nBC ，求 m+n 的值。
19.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1 ， E,M,N 分别是 BC,B1C,A1A 的中点.

（1）求证：MN∥平面AEC1；
（2）求异面直线 AE 与 A1C 所成角的大小.
20.已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，
在条件① (a2+b2-c2)⋅(acosB+bcosA)=abc ，条件② csinA=acos(C-π6)
这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.
（1）若 c=3 ，求 ΔABC 的外接圆直径；
（2）若 ΔABC 的周长为6，求边 c 的取值范围.
21.如图，在 ΔABC 中， AB=3,AC=2BC=4,D 为 AC 的中点， E,P 分别在边 AB,BC 上，满足 AE=2EB,4BP=3PC ， AP 交 DE 于 M .现将 ΔADE 沿 DE 翻折至 ΔA1DE ，得四棱锥 A1-BCDE .

（1）证明： DE⊥平面A1MP ；
（2）若直线 A1P 与平面 BCD 所成角的正切值为 7 ，且 A1 在平面 ABC 内的射影在 ΔABC 的内部，求 AA1 的长.

答案解析部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
1.在 ΔABC 中， A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a=1,B=60°,c=2 ，则 b= （   ）
A. 1                                        B. 7                                        C. 5                                        D. 3
【答案】 D
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=12+22-2·1·2·cos60°=3，则b=3.
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可
2.已知 i 是虚数单位，设复数 z=i2021+1 ，则 z 的虚部为（   ）
A. 1                                          B. -1                                          C. i                                          D. -i
【答案】 A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得z=i2021+1=i+1，所以z的虚部为1.
故答案为：A
【分析】由复数的运算和定义直接求解即可
3.已知 m,n 是两条不同的直线， α,β 是两个不同的平面，则（   ）
A. 若m∥α，n//α，则m//n                                    B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C. 若α∥β，m⊥α，n//β，则m⊥n                         D. 若m∥n，n⊂α，则m//α
【答案】 C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，若 m//α,n//α,则 m//n或m,n相交或m,n异面，故A错误；
对于B，若m//α,m⊥n ， 则n⊥α或n⊂α ， 故B错误；
对于C，若α//β，m⊥α ， 则m⊥β，又n//β ， 则m⊥n，所以C正确；
对于D，若m//n,n⊂α ， 则m//α或m⊂α ， 故D错误.
故答案为：C.
【分析】由直线与直线的关系可判断A，由直线与平面的关系可判断B，由线线垂直的判定可判断C，由直线与平面的关系可判断D.
4.如图， ΔA'O'B' 表示水平放置的 ΔAOB 的直观图.点 B' 在 x' 轴上， A'O' 和 x' 轴垂直，且 A'O'=2 ，则 ΔAOB 的边 OB 上的高为（   ）

A. 2                                        B. 22                                        C. 42                                        D. 4
【答案】 C
【考点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中的边O'B'与原图中的边OB长度相等，及S原图=22S直观图 ， 即12OB×h=22×12A'O'×O'B' ， 解得h=42.
故答案为：C
【分析】根据斜二测画法及S原图=22S直观图 ， 直接求解即可.
5.设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ，定义 a 与 b 的“向量积”： a×b 是一个向量，它的模 |a×b|=|a||b|sinθ ，若 a=(2,0)，b=(1,3), ，则 |a×b| =（   ）
A. 2                                         B. 23                                         C. 3                                         D. 1
【答案】 B
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意得a→=b→=2 ， 则cosθ=a→·b→a→·b→=22×2=12 ， 则sinθ=32 ，
a→×b→=a→b→sinθ=2×2×32=23
故答案为：B
【分析】由向量的数量积求出cosθ，再根据“向量积”直接求解即可
6.已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 c=2acosB ，则 ΔABC 一定为（   ）
A. 直角三角形                    B. 等腰三角形                    C. 等边三角形                    D. 等腰直角三角形
【答案】 B
【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理及c=2acosB得sinC=2sinAcosB，即sin(A+B)=2sinAcosB，
即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，则sinAcosB-cosAsinB=0，即sin(A-B)=0，则A-B=0，所以A=B，所以△ABC一定为等腰三角形 
故答案为：B
【分析】由正弦定理，以及三角形的内角和性质，结合两角和与差的正弦公式直接求解即可.
7.若非零向量 b=3a-2c,|b|=|c|=2|a| ，则 a 与 b 的夹角余弦值为（   ）
A. 34                                       B. 14                                       C. -34                                       D. -14
【答案】 D
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵b→=3a→-2c→ ，
∴2c→=3a→-b→ ，
∴2c→2=3a→-b→2 ， 则4c→2=9a→2-6a→·b→+b→2
又∵ |b→|=|c→|=2|a→| ，
∴ 4×2a→2=9a→2-6a→·b→+2a→2 ，
则a→·b→=-12a→2 ，
则cos=a→·b→a→·b→=-12a→2a→·2a→=-14.
故答案为：D
【分析】先由题意求得a→·b→=-12a→2 ， 再根据向量的夹角公式直接求解即可.
8.若 O 是 ΔABC 的垂心， ∠A=π3,sinBcosCAB+sinCcosBAC=msinBsinCAO ，则 m= （   ）
A. 1                                        B. 33                                        C. 3                                        D. 32
【答案】 C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为 sinBcosCAB→+sinCcosBAC→=msinBsinCAO→  ，
所以cosCsinC·AB→+cosBsinB·AC→=mAO→
又因为O是  ΔABC 的垂心 ，所以CD⊥AB，AO→=AD→+DO→
所以cosCsinC·AB→+cosBsinB·AC→=mAD→+DO→
则cosCsinC·AB→2+cosBsinB·AC→·AB→=mAD→+DO→·AB→
即cosCsinC·c2+cosBsinB·b·c·cosA=mAD→·AB→=mb·c·cosA ， 又∠A=π3
则由正弦定理得，cosC+12cosB=12msinB……①
又cosC=cos2π3-B=-12cosB+32sinB……②
联解①②，得32sinB=12msinB ，
又因为sinB≠0
所以m=3
故答案为：C
【分析】根据向量的数量积，结合题意，以及三角形的内角和求解即可.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
9.已知 i 是虚数单位，下列说法正确的是（   ）
A. 若复数 z 满足 z2∈R,则z∈R                        B. 若复数 z 满足 z∈R,则z∈R
C. 若复数 z=2i1+i ，则 |z| 的值为2                        D. 若复数 z 满足 |z+i|=|z-3i| ，则 |z| 的最小值为1
【答案】 B,D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】【解答】解：对于A，当z=i时，显然不成立，故A错误；
对于B，当z=a+bi∈R，则b=0，所以z=a∈R，故B正确；
对于C，当z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=1+i ， 则z=2 ， 故C错误；
对于D，设z=a+bi，则由 |z+i|=|z-3i|  得|a+bi+i|=|a+bi-3i| ， 即|a+b+1i|=|a+b-3i| ， 则a2+b+12=a2+b-32 ， 解得b=1，则|z|=a2+1≥1 ， 故D正确.
故答案为：D

【分析】本题主要考查复数的概念，复数的模，以及复数的运算问题，根据概念以及运算法则逐项求解即可判断.
10.下列说法正确的是（   ）
A. 在 ΔABC 中，若 AB⋅BC>0 ，则 ΔABC 为锐角三角形
B. 若 a=(3,4),b=(-1,2) ，则 a 在 b 方向上的投影向量为 (-1,2)
C. 若 a=(1,k)，b=(2,2) ，且 a+b 与 a 共线，则 a⊥b
D. 设 M 是 ΔABC 所在平面内一点，且 MB+32MA+32MC=0, 则 SΔABCSΔMAC=4
【答案】 B,D
【考点】平面向量数量积的性质及其运算律，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A，由题意得AB→·BC→=AB→·BC→·cosπ-B=-AB→·BC→·cosB>0 ， 则cosB