福建省福州第八中学2020-2021学年高一下学期数学周测试卷（四）+Word版含解析

这是一份福建省福州第八中学2020-2021学年高一下学期数学周测试卷（四）+Word版含解析，共14页。试卷主要包含了选择题.，填空题，主观题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年福建省福州八中高一（下）周测数学试卷（四）
一、选择题（共10小题）.
1．已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量＝（1，2），＝（﹣2，3），＝（4，5），若（+λ）⊥，则λ＝（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
3．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边长c＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．在平面上有A，B，C三点，设＝，＝，若，的长度恰好相等，则有（　　）
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
5．在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，c＝2，cos＝，则b＝（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（　　）
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝15，b＝2，A＝90°，有一解
D．a＝40，b＝30，A＝120°，有一解
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．（++）﹣（﹣﹣）＝
B．若•＜0，则与的夹角是钝角
C．向量＝（2，﹣3），＝（，﹣）能作为平面内所有向量的一个基底
D．若⊥，则在上的投影向量为
9．下列命题中正确的是（　　）
A．向量与不共线，则与都是非零向量
B．已知A，B，C是平面内任意三点，则
C．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC为等腰三角形
D．若向量与同向，且||＞||，则＞
10．在△ABC中，着AB＝4，AC＝5，△BCD为等边三角形（A，D两点在BC两侧），则当四边形ABDC的面积S最大时，下列选项正确的是（　　）
A．∠BAC＝ B．∠BAC＝ C．S＝+20 D．S＝
二、填空题
11．平面向量，满足||＝1，||＝2，且（+）•（﹣2）＝﹣7，则向量，的夹角为　 　．
12．在△ABC中．若b＝5，，tanA＝2，则sinA＝　 　；a＝　 　．
13．如图，PA为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得搭顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进10米后到E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝　 　，塔高为　 　米．

三、主观题
14．已知非零向量，满足||＝1，且（﹣）•（+）＝
（1）求||；
（2）当•＝，求向量与的夹角θ的值．
15．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cosB＝．
（Ⅰ）若b＝4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝4，求b、c的值．
16．如图，平行四边形ABCD中，＝，＝，H、M是AD、DC的中点，BF＝BC．
（1）用，来表示，；
（2）若||＝3，||＝4，与的夹角为，求•．

17．在①3c2＝16S+3（b2﹣a2）；②5bcosC+4c＝5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知_____．
（1）求tanB的值；
（2）若S＝42，a＝10，求b的值．
18．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）．记∠AMN＝θ．
（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？

19．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin＝bsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．


参考答案
一、选择题
1．已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵；
∴与的方向相同，且；
∴A正确．
故选：A．
2．已知向量＝（1，2），＝（﹣2，3），＝（4，5），若（+λ）⊥，则λ＝（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
解：；
又；
∴；
解得λ＝﹣2．
故选：C．
3．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边长c＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
解：∵在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，
∴C＝30°．
再由b＝2，利用正弦定理可得，
解得 c＝2，
故选：B．
4．在平面上有A，B，C三点，设＝，＝，若，的长度恰好相等，则有（　　）
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
解：因为＝，＝，且，的长度恰好相等，
所以，
两边同时平方可得，，
所以，
所以⊥，即△ABC必为直角三角形且∠B为直角．
故选：C．
5．在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系．
则：A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（．
因为AB＝2CD＝2，∠B＝45，所以AD＝DC＝1，M为腰BC的中点，
则M点到AD的距离＝（DC+AB）＝，M点到AB的距离＝DA＝
所以，，
所以＝9/4﹣1/4＝2．
故选：B．
6．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，c＝2，cos＝，则b＝（　　）
A．1 B． C．2 D．4
解：∵a＝2，c＝2，cos＝，
∴cosA＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：（2）2＝b2+22﹣2×b×2×，可得：b2﹣3b﹣4＝0，
∴解得：b＝4，或﹣1（舍去）．
故选：D．
7．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（　　）
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝15，b＝2，A＝90°，有一解
D．a＝40，b＝30，A＝120°，有一解
解：a＝8，b＝16，A＝30°，
由正弦定理，得，即sinB＝1，
所以B＝90°，有一解，A不正确；
b＝18，c＝20，B＝60°，
由正弦定理，得，
所以sinC＝，
因为c＞b，所以C＞B，
故C有两个值，三角形有两解，B不正确；
a＝15，b＝2，A＝90°，
所以sinB＝＝，B为锐角，有一解，C正确；
a＝40，b＝30，A＝120°，
由正弦定理，得＝，即sinB＝，
则B为锐角，有一解，D正确．
故选：CD．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．（++）﹣（﹣﹣）＝
B．若•＜0，则与的夹角是钝角
C．向量＝（2，﹣3），＝（，﹣）能作为平面内所有向量的一个基底
D．若⊥，则在上的投影向量为
解：对于A：（++）﹣（﹣﹣）＝，故A正确；
对于B：若•＜0，则与的夹角是钝角或与为方向相反向的量，故B错误；
对于C：向量＝（2，﹣3），＝（，﹣），则，故本能作为基底，故C错误；
对于D：若⊥，则在上的投影向量为0，故D错误；
故选：A．
9．下列命题中正确的是（　　）
A．向量与不共线，则与都是非零向量
B．已知A，B，C是平面内任意三点，则
C．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC为等腰三角形
D．若向量与同向，且||＞||，则＞
解：对于A：因为零向量与任意向量共线，所以A正确；
对于B：由平面向量的加法法则，可知，所以B正确；
对于C：设BC的中点为D，因为，所以，所以，即，又BC的中点为D，所以△ABC为等腰三角形，即C正确；
对于D，因为向量不是实数，所以不能比较大小，向量的模可以比较大小，所以D不正确．
故选：ABC．
10．在△ABC中，着AB＝4，AC＝5，△BCD为等边三角形（A，D两点在BC两侧），则当四边形ABDC的面积S最大时，下列选项正确的是（　　）
A．∠BAC＝ B．∠BAC＝ C．S＝+20 D．S＝
解：由余弦定理可得AB2+AC2﹣BC2＝2AB•AC•cosA，
∴BC2＝42+52﹣2×4×5×cosA
∴BC2＝41﹣40cosA，
∵△BCD为等边三角形，
∴＝，
∴＝10sinA，
∵SABCD＝S△BCD+S△ABC＝＝，
∴当时，即，即，四边形ABDC的面积S最大，，
故选：BC．
二、填空题
11．平面向量，满足||＝1，||＝2，且（+）•（﹣2）＝﹣7，则向量，的夹角为　　．
解：∵向量，满足||＝1，||＝2，且（+）•（﹣2）＝﹣7，
∴，
即1﹣•﹣8＝﹣7，
∴•＝0，
即⊥，
∴向量，的夹角为．
故答案为：．
12．在△ABC中．若b＝5，，tanA＝2，则sinA＝　　；a＝　2　．
解：由tanA＝2，得到cos2A＝＝，
由A∈（0，π），得到sinA＝＝，
根据正弦定理得：＝，得到a＝＝＝2．
故答案为：；2
13．如图，PA为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得搭顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进10米后到E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝　15°　，塔高为　15　米．

解：由题意可知，CD＝30，DE＝，塔高为PA，
∵∠PCD＝θ，∠PDE＝2θ，
∴∠CPD＝θ，即△CDP为等腰三角形，PD＝30，
∵∠PDE＝2θ，∠PEA＝4θ，
∴△DPE＝2θ，△PED为等腰三角形，PE＝，
在△DPE中，由余弦定理，可得DE2+PE2﹣DP2＝2DE•EP•cos∠DEP，
∴＝，
∴cos∠PED＝，∠PED＝120°，
∵4θ＝180°﹣∠PED＝60°，∴θ＝15°，
在△PED中，，即PA＝×＝15，
故答案为：θ＝15°，塔高15米．
三、主观题
14．已知非零向量，满足||＝1，且（﹣）•（+）＝
（1）求||；
（2）当•＝，求向量与的夹角θ的值．
解：（1）非零向量，满足||＝1，且（﹣）•（+）＝，
可得：，
∴||＝；
（2）当•＝，
所以：＝，
可得cos，
向量与的夹角θ的值为：．
15．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cosB＝．
（Ⅰ）若b＝4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝4，求b、c的值．
解：（I）∵
由正弦定理得．
∴．
（II）∵，
∴．
∴c＝5
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，
∴
16．如图，平行四边形ABCD中，＝，＝，H、M是AD、DC的中点，BF＝BC．
（1）用，来表示，；
（2）若||＝3，||＝4，与的夹角为，求•．

解：（1）＝+＝+；
＝++＝+﹣＝﹣；
（2）若||＝3，||＝4，与的夹角为，
则•＝3×4cos＝﹣6，
则有•＝（+）•（﹣）＝﹣+
＝9﹣×16﹣×6＝﹣．
17．在①3c2＝16S+3（b2﹣a2）；②5bcosC+4c＝5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知_____．
（1）求tanB的值；
（2）若S＝42，a＝10，求b的值．
解：选①3c2＝16S+3（b2﹣a2），
（1）∵3c2＝16S+3（b2﹣a2），
∴3（c2+a2﹣b2）＝16s即3×2accosB＝16×，
所以3cosB＝4sinB即tanB＝；
（2）由（1）可得sinB＝，cosB＝，
∴S＝sinB＝＝3c＝42，即c＝14，
由余弦定理可得，，
整理可得，b＝6．
选②5bcosC+4c＝5a，
（1）5b×+4c＝5a，
5a2+5b2﹣5c2+8ac＝10a2，
5a2+5c2﹣5b2＝8ac，
cosB＝＝，B∈（0，π），sinB＝，
故tanB＝．
（2）由（1）可得sinB＝，cosB＝，
∴S＝sinB＝＝3c＝42，即c＝14，
由余弦定理可得，，
整理可得，b＝6．
18．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）．记∠AMN＝θ．
（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？

解：（1）∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理得：＝＝
所以AN＝，AM＝
（2）AP2＝AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP
＝sin2（θ+60°）+4﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）
＝[1﹣cos（2θ+120°）]﹣sin（2θ+120°）+4
＝[sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+
＝﹣sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°﹣θ）＝sin（θ+60°））
当且仅当2θ+150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2．
故答案为：（1）AN＝，AM＝
（2）AN＝AM＝2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．
19．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin＝bsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：（1）asin＝bsinA，即为asin＝acos＝bsinA，
可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，
∵sinA＞0，
∴cos＝2sincos，
若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，
∴sin＝，
由0＜B＜π，可得B＝；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，
由余弦定理可得b＝＝，
由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，
解得＜a＜2，
可得△ABC面积S＝a•sin＝a∈（，）．