2020-2021学年第1章 一元二次方程综合与测试综合训练题

这是一份2020-2021学年第1章 一元二次方程综合与测试综合训练题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x=x2+2B．ax2+bx+c=0C．x2=1D．x2﹣ +2=0
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数分别是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程的解是（ ）
A．或B．
C．或D．或
5．若为一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共同签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（ ）
A．x(x＋1)＝45B．x(x－1)＝45
C．x(x＋1)＝45D．x(x－1)＝45
7．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．12B．14C．12或14D．24
9．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1B．2C．22D．30
10．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
二、填空题
11．若(a+2)+4x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的值为_______．
12．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值等于________．
13．已知关于的方程无实数根，则满足的条件是_____．
14．已知代数式与代数式的值互为相反数，则________．
15．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为____．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1） （2）．
17．已知：关于x的方程x2+(2k−1)x−2k−1=0．
(1)求证：无论k取何值，关于x的方程 x2+(2k−1)x−2k−1=0都有两个不相等的实数根．
(2)若此方程有一根为−1，求k的值及方程的另一个根．
18．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
19．要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙（墙长）．
求围栏的长和宽；
能否围成面积为的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．
20．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．
参考答案
1．C
【分析】
一元二次方程的一般式是ax2+bx+c=0且a≠0.
【详解】
解：A，经整理后得，是一元一次方程；B，缺少a≠0这个条件，故不一定是一元二次方程；C，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D，分母上有未知数，不是一元二次方程；
故选择C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义.
2．C
【详解】
∵2x2﹣3x=1，
∴2x2﹣3x-1=0，
∴次项系数a、一次项系数b和常数c分别是2、-3、-1.
故选C.
3．D
【详解】
根据配方的正确结果作出判断：
．
故选D．
4．D
【解析】
【分析】
直接开平方解方程得出答案即可．
【详解】
∵x2=2，
∴x=± ．
故选D.
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键.
5．D
【详解】
分析：根据一元二次方程的解的定义，将x=-2代入方程x2-2x-m=0，列出关于m的方程8-m=0，通过解方程即可求得m的值．
解答：解：∵x=-2为一元二次方程x2-2x-m=0的一个根，
∴x=-2满足一元二次方程x2-2x-m=0，
∴4+4-m=0，即8-m=0，
解得，m=8；
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解均满足该一元二次方程的解析式．
6．B
【解析】
分析: 每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有x（x-1）份.
详解: 设有x家公司参加，依题意，得
x（x-1）=45，
故选B.
点睛: 考查了由实际问题抽象出一元二次方程，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数.
7．B
【分析】
分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【详解】
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】
本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.
8．A
【分析】
利用因式分解法求出已知方程的解，再利用三角形三边关系确定出第三边长，即可求出周长．
【详解】
解：方程x2-12x+35=0，
分解因式得：（x-5）（x-7）=0，
可得x-5=0或x-7=0，
解得：x=5或x=7，
∵三角形第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，
∴第三边的长为5或7，
当第三边长为5时，周长为3+4+5=12；
当第三边长为7时，3+4=7，不能构成三角形，舍去，
综上，该三角形的周长为12．
故选：A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，求出方程的解是解本题的关键．
9．D
【解析】
∵α方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,
∴原式=8×2+14=30,故选D.
10．C
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】
本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
11．2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
【详解】
∵(a+2)+4x+5=0是关于x的一元二次方程，
∴a+2≠0,a2−2=2，
解得，a=2，
故答案为2.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，注意二次项系数不等于0是解题的关键.
12．2
【解析】
【分析】
根据方程x2+x+a-=0有两个相等的实数根可得△=12-4（a-）=0，求出a的值即可．
【详解】
∵关于的方程x2+x+a-=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴12-4（a-）=0，
∴a=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△=0⇔方程有两个相等的实数根，此题难度不大．
13．
【分析】
关于的方程无实数根，则根的判别式，解出即可．
【详解】
解：方程无实数根，
，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是：方程没有实数根，则根的判别式．
14．或．
【详解】
试题分析：已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x-9的值互为相反数，根据互为相反数的两个数相加得0可得7x（x+5）+10+9x-9=0，解得x1=，x2=．
考点：一元二次方程的解法．
15．24
【分析】
设三边长分别为：，根据勾股定理解方程即可求得各边长，继而求得周长．
【详解】
设三边长分别为：
根据勾股定理可得：
解得：（不符合题意，舍去）
三角形的三边长分别为：
则周长为：
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解一元二次方程，设未知数解方程是解题的关键．
16．（1）或（2）
【分析】
根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
∴或
（2）
∴
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
17．（1）证明见解析；（2）k=14，另一个根是32．
【解析】
【分析】
（1）根据△=（2k-1）2-4×1×（-2k-1）=（2k+1）2+4＞0，即可得出无论k取何值，关于x的方程 x2+（2k-1）x-2k-1=0都有两个不相等的实数根；
（2）把x=-1代入原方程得出（-1）2-（2k-1）-2k-1=0，求出k=14，再设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系得出-x2=-2×14-1再计算即可．
【详解】
证明：(1)∵△=(2k−1)2−4×1×(−2k−1)=（2k+1）2+4，
∵（2k+1）2≥0
∴（2k+1）2+4>0，
∴无论k取何值，关于x的方程 x2+(2k−1)x−2k−1=0都有两个不相等的实数根；(2)若此方程有一根为−1，
则(−1)2−(2k−1)−2k−1=0，
解得：k=14，
设方程的另一个根为x2，则−x2=−2×14−1，
x2=32．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
18．（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
19．（1）围栏的长为米，围栏的宽为米；（2）不能围成面积为的长方形围栏．
【详解】
试题分析：（1）设围栏的长xm，根据面积等于300，列方程，解方程并检验即可；（2）类比（1）中做法得出方程，判断方程是否有解即可.
试题解析：（1）设围栏的长xm，则宽为m，由题意得：.x=300，解得x=20，x=30，因为靠墙墙长25m，所以x=30，不合题意舍去，所以x=20，当x=20时，=15，
答：围栏的长和宽分别为20m和15m；
（2）当.x=400时，，因为＜0，所以方程无解，所以不能围成面积为400 的长方形围栏.
考点：一元二次方程的应用.
20．（1）；（2）；（3），，．
【分析】
（1）因为是的一个因式，所以方程的解方程的解，代入解即可求得；
（2）根据（1）中a、b、c的关系即可求得；
（3）根据（1）中a、b、c的关系，和，，为整数，即可求得．
【详解】
（1）是的一个因式，
，即，是方程的解，
，
得：③，
．
（2）由③得：④，
④代入①得：⑤，
．
（3），
，
，
解得：，
又，均为大于的整数，
可取的值有，，，，，
又为正整数，
，，
则，
，，．