人教版 (新课标)选修33 理想气体的状态方程学案

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一、理想气体
1．理想气体
在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律的气体．
2．理想气体与实际气体
在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍的条件下，把实际气体当做理想气体来处理．
二、理想气体的状态方程
1．内容
一定质量的某种理想气体，在从状态1变化到状态2时，尽管p、V、T都可能改变，但是压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变．
2．表达式
(1)eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)；(2)eq \f(pV,T)＝C.
3．成立条件
一定质量的理想气体．
4．理想气体状态方程与实验定律的关系
(1)当一定质量理想气体温度不变时，由理想气体状态方程得pV＝C，即玻意耳定律．
(2)当一定质量理想气体体积不变时，由理想气体状态方程得eq \f(p,T)＝C，即查理定律．
(3)当一定质量理想气体压强不变时，由理想气体状态方程得eq \f(V,T)＝C，即盖—吕萨克定律．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实际气体在常温常压下可看作理想气体．(√)
(2)能严格遵守气体实验定律的气体是理想气体．(√)
(3)理想气体在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律．(√)
(4)一定质量的理想气体从状态1变化到状态2，经历的过程不同，状态参量的变化不同．(×)
(5)一定质量的气体，体积、压强、温度都可以变化．(√)
2．(多选)关于理想气体，下列说法正确的是( )
A．理想气体能严格遵守气体实验定律
B．实际气体在温度不太高、压强不太大的情况下，可看成理想气体
C．实际气体在温度不太低、压强不太大的情况下，可看成理想气体
D．所有的实际气体在任何情况下，都可以看成理想气体
E．一定质量的理想气体内能的变化只与温度有关
ACE [理想气体是在任何温度、任何压强下都能遵守气体实验定律的气体，A选项正确．它是实际气体在温度不太低、压强不太大情况下的抽象，故C正确；理想气体分子除碰撞外，无相互作用的引力和斥力，故无分子势能的变化，故E正确．]
3.一定质量的理想气体，封闭在有活塞的汽缸中，气体从状态a出发，经历ab、bc、cd、da四个过程回到状态a，各过程的压强p与温度T的关系如图所示，其中是等容过程的是__________．
[解析] 从图象中看，一定质量的气体，在由状态a到状态b的过程中满足关系式eq \f(pb,Tb)＝eq \f(pa,Ta)，所以a→b过程是等容过程；对于c→d的过程，由题图可见，有eq \f(pc,Tc)＝eq \f(pd,Td)，所以c→d过程也是等容过程．
[答案] ab、cd
1．理想气体状态方程与气体实验定律
eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(T1＝T2时，p1V1＝p2V2玻意耳定律,V1＝V2时，\f(p1,T1)＝\f(p2,T2) 查理定律,p1＝p2时，\f(V1,T1)＝\f(V2,T2) 盖—吕萨克定律))
由此可见，三个气体实验定律是理想气体状态方程的特例．
2．理想气体状态方程的应用要点
(1)选对象：根据题意，选出所研究的某一部分气体，这部分气体在状态变化过程中，其质量必须保持一定．
(2)找参量：找出作为研究对象的这部分气体发生状态变化前后的一组p、V、T数值或表达式，压强的确定往往是个关键，常需结合力学知识(如力的平衡条件或牛顿运动定律)才能写出表达式．
(3)认过程：过程表示两个状态之间的一种变化式，除题中条件已直接指明外，在许多情况下，往往需要通过对研究对象跟周围环境的相互关系的分析中才能确定，认清变化过程是正确选用物理规律的前提．
(4)列方程：根据研究对象状态变化的具体方式，选用理想气体状态方程或某一实验定律，代入具体数值，T必须用热力学温度，p、V的单位要统一，最后分析讨论所得结果的合理性及其物理意义．
【例1】 如图，绝热汽缸A与导热汽缸B横截面积相同，均固定于地面，由刚性杆连接的绝热活塞与两汽缸间均无摩擦．两汽缸内都装有处于平衡状态的理想气体，开始时体积均为V0、温度均为T0，缓慢加热A中气体，停止加热达到稳定后，A中气体压强变为原来的1.2倍，设环境温度始终保持不变，求汽缸A中气体的体积VA和温度TA.
思路点拨：(1)汽缸B导热，B中气体初、末状态温度相等，发生的量等温变化．
(2)刚性杆连接绝热活塞，且A、B两个汽缸面积相等，因此A、B体积之和不变，而VA＋VB＝2V0.
[解析] 设初态压强为p0，膨胀后A、B压强相等，均为1.2p0.
B中气体始末状态温度相等，则有p0V0＝1.2p0(2V0－VA)
VA＝eq \f(7,6)V0.
A部分气体满足eq \f(p0V0,T0)＝eq \f(1.2p0VA,TA)
解得TA＝1.4T0.
[答案] eq \f(7,6)V0 1.4T0
对于一定质量的理想气体，由状态方程eq \f(pV,T)＝C可知，当其中一个状态参量发生变化时，一定会引起另外一个状态参量发生变化或另外两个状态参量都发生变化．分析时抓住三个状态参量之间的物理关系是解决此类问题的关键．
1．一个半径为0.1 cm的气泡，从18 m深的湖底上升．如果湖底水的温度是8 ℃，湖面的温度是24 ℃，湖面的大气压强相当于76 cm高水银柱产生的压强，即101 kPa，那么气泡升至湖面时体积是多少？(ρ水＝1.0 g/cm3，g取9.8 m/s2.)
[解析] 由题意可知18 m深处气泡体积V1＝eq \f(4,3)πr3≈4.19×10－3 cm3
p1＝p0＋ρ水 gh水＝277.4 kPa
T1＝(273＋8) K＝281 K
p2＝101 kPa
T2＝(273＋24) K＝297 K
根据理想气体的状态方程eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)，得V2＝eq \f(p1T1T2,p2T1)＝eq \f(277.4×4.19×10－3×297,101×281) cm3≈0.012 cm3.
[答案] 0.012 cm3
一定质量的理想气体的状态参量p、V、T可以用图象上的点表示出来，用点到点之间的连线表示气体从一个平衡态(与点对应)到另一个平衡态的变化过程．利用图象对气体状态、状态变化及规律进行分析，是常用的方法．
1．利用垂直于坐标轴的线作辅助线去分析同质量、不同温度的两条等温线，不同体积的两条等容线，不同压强的两条等压线的关系．
例如：如图甲所示，V1对应的虚线为等容线，A、B是与T1、T2两线的交点，可以认为从B状态通过等容升压到A状态，温度必然升高，所以T2>T1.
甲
又如图乙所示：
乙
T1对应的虚线AB为等温线，从B状态到A状态压强增大，体积一定减小，所以V22．一定质量理想气体的图象
(1)等温变化
①T一定时，在p ­V图象中，等温线是一簇双曲线，图象离坐标轴越远，温度越高，如图甲所示，T2>T1.
甲 乙
②T一定时，在p ­eq \f(1,V)图象中，等温线是延长线过坐标原点的直线，直线的斜率越大，温度越高，如图乙所示．
(2)等容变化
①V一定时，在p ­T图象中，等容线为一簇延长线过坐标原点的直线，直线的斜率越小，体积越大，如图甲所示．
甲 乙
②V一定时，在p ­t图象中，等容线与t轴的交点是－273.15 ℃，是一条倾斜的直线，纵截距表示气体在0 ℃时的压强，如图乙所示．
(3)等压变化
①p一定时，在V­T图象中，等压线是一簇延长线过坐标原点的直线，直线的斜率越大， 压强越小，如图甲所示．
甲 乙
②p一定时，在V­t图象中，等压线与t轴的交点总是－273.15 ℃，是一条倾斜的直线，纵截距表示0 ℃时气体的体积，如图乙所示．
【例2】 内壁光滑的导热汽缸竖直浸放在盛有冰水混合物的水槽中，用不计质量的活塞封闭压强为1.0×105 Pa、体积为2.0×10－3 m3的理想气体．现在活塞上方缓缓倒上沙子，使封闭气体的体积变为原来的一半，然后将汽缸移出水槽，缓慢加热，使气体温度变为127 ℃.(大气压强为1.0×105 Pa)
(1)求汽缸内气体的最终体积(保留三位有效数字)；
(2)在如图所示的p­V图上画出整个过程中汽缸内气体的状态变化．
思路点拨：(1)在活塞上方缓缓倒沙子的过程是一个等温变化过程，缓慢加热的过程是一个等压变化过程．
(2)等压过程的图线为平行于V轴的直线，等容过程的图线为平行于p轴的直线，等温过程的图线为双曲线的一支．
[解析] (1)在活塞上方倒沙的全过程中温度保持不变，即p0V0＝p1V1，解得p1＝2.0×105 Pa.
在缓慢加热到127 ℃的过程中压强保持不变，则eq \f(V1,T1)＝eq \f(V2,T2)，所以V2≈1.5×10－3 m3.
(2)如图所示
[答案] (1)1.5×10－3 m3
(2)见解析
理想气体状态变化时注意转折点的确定
转折点是两个状态变化过程的分界点，挖掘隐含条件，找出转折点是应用理想气体状态方程解决气体状态变化问题的关键．
2．一定质量的气体，在状态变化过程中的p­T图象如图所示，在A状态时的体积为V0，试画出对应的V­T图象和p­V图象(标注字母和箭头)．
[解析] 根据理想气体状态方程，有eq \f(p0V0,T0)＝eq \f(3p0VB,T0)＝eq \f(3p0VC,T0)，解得VB＝eq \f(1,3)V0，VC＝V0
A到B是等温变化，B到C是等压变化，C到A是等容变化，作出对应的V­T图象和p­V图象如图所示．
甲 乙
[答案] 见解析
1．(多选)下列对理想气体的理解，正确的有( )
A．理想气体实际上并不存在，只是一种理想模型
B．只要气体压强不是很高就可视为理想气体
C．一定质量的某种理想气体的内能与温度、体积都有关
D．在任何温度、任何压强下，理想气体都遵循气体实验定律
E．理想气体分子本身的大小与分子间的距离相比可以忽略不计，分子视为质点
ADE [理想气体是一种理想化模型，温度不太低，压强不太大的实际气体可视为理想气体；只有理想气体才遵循气体的实验定律，选项A、D正确，选项B错误．一定质量的理想气体的内能完全由温度决定，与体积无关，选项C错误．]
2．(多选)对一定质量的气体，下列说法正确的是( )
A．温度发生变化时，体积和压强可以不变
B．温度发生变化时，体积和压强至少有一个发生变化
C．如果温度、体积和压强三个量都不变化，我们就说气体状态不变
D．只有温度、体积和压强三个量都发生变化，我们就说气体状态变化了
BC [p、V、T三个量中，可以两个量发生变化，一个量恒定，也可以三个量同时发生变化，而一个量变化，另外两个量不变的情况是不存在的，气体状态的变化就是p、V、T的变化．故B、C说法正确．]
3．如图所示，a，b，c三点表示一定质量理想气体的三个状态，则气体在a，b，c三个状态的热力学温度之比是( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶1 C．3∶4∶3 D．1∶2∶3
C [根据理想气体状态方程eq \f(pV,T)＝C可知，T∝pV，所以Ta∶Tb∶Tc＝(paVa)∶(pbVb)∶(pcVc)＝3∶4∶3，选项C正确．]
4．房间的容积为20 m3，在温度为7 ℃、大气压强为9.8×104 Pa时，室内空气质量是25 kg.当温度升高到27 ℃，大气压强变为1.0×105 Pa时，室内空气的质量是多少？
[解析] 气体初态：
p1＝9.8×104 Pa，V1＝20 m3，T1＝280 K
末态：p2＝1.0×105 Pa，V2＝？，T2＝300 K
由状态方程：eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)
所以V2＝eq \f(p1T2,p2T1)V1＝eq \f(9.8×104×300×20,1.0×105×280) m3＝21.0 m3
因V2>V1，故有气体从房间内流出
房间内气体质量m2＝eq \f(V1,V2)m1＝eq \f(20,21)×25 kg≈23.8 kg.
[答案] 23.8 kg
理想气体状态方程
理想气体状态变化的图象
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.理想气体及可视为理想气体的条件.
2.理想气体状态方程的内容和表达式.
3.理想气体状态方程的适用条件和应用.