人教版 (新课标)选修3第三章 磁场综合与测试导学案

习题课3　带电粒子在有界磁场中的运动

 [学 习 目 标]　1.掌握几种常见有界磁场的特点。2.会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。3.能利用几何知识求解圆周运动的半径。4.会分析有界磁场中的临界问题。

一、带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动

1．有单平面边界的磁场问题

从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。

2．有双平行平面边界的磁场问题

带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。

(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。

(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。

【例1】　如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：

(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；

(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。

思路点拨：(1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。

(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。

[解析]　(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有

qvB＝m，则r＝

故d＝OA＋OB＝2r1sin 30°＋2r2sin 60°＝。

(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝

粒子2圆周运动的圆心角θ2＝

粒子做圆周运动的周期T＝＝

粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝T

粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝T

所以Δt＝t1－t2＝。

[答案]　(1)　(2)

(1)要按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行。

(2)解题过程中注意对称性的应用。

1．如图所示，直线MN的上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。现有一质量为m、带电荷量为＋q的粒子在纸面内以某一速度从A点射出，其方向与MN成30°角，A点到MN的距离为d，带电粒子所受的重力不计。求：

(1)当v满足什么条件时，粒子能回到A点；

(2)粒子在磁场中运动的时间t。

[解析]　(1)粒子运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的轨道半径为r，

由图中的几何关系可知r＝＝2d

由牛顿第二定律有Bqv＝m

联立解得v＝。

(2)由图可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为300°，所以t＝T＝。

[答案]　(1)　(2)

二、带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动

1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。

如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。

2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题

处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。

(1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。

甲　　　　　　　　乙

(2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。

(3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。

【例2】　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。

(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；

(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

思路点拨：(1)粒子沿半径方向进入磁场后，仍会沿着半径方向射出磁场。

(2)画出运动轨迹并求出轨道半径是解答本题的关键。

[解析]　(1)粒子的运动轨迹如图所示，由左手定则可知，该粒子带负电荷。

粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，

又qvB＝m，则粒子的比荷＝。

(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，

粒子做圆周运动的半径R′＝＝r，

又R′＝，所以B′＝B，

粒子在磁场中运动所用时间

t＝T＝×＝。

[答案]　(1)负电荷　　(2)B　

2．如图所示，在圆形区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径。一带正电的粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°角时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t。若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)(　　)

A．3t　　　　　 B．t

C．t  D．2t

D　[设圆形磁场半径为R，粒子以速度2v射入磁场，半径r1＝，由图可得，r1＝2R，运动时间t1＝·＝＝t；粒子以速度v射入磁场，半径r2＝＝R，圆心角θ＝120°，运动时间t2＝·＝＝2t，选项D正确。]

三、带电粒子在有界磁场中的临界问题

带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，随着带电粒子速度大小的变化，而引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：

(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。

(3)当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长。

【例3】　如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电子(电荷量为e，质量为m，重力不计)由静止状态从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°。求：

(1)电子在磁场中运动的时间t；

(2)若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ射出，则此时PQ间的电势差U是多少？

[解析]　(1)由洛伦兹力提供向心力可得evB＝，且T＝

得电子在磁场中运动周期T＝

由几何关系知电子在磁场中运动时间t＝T＝T

解得t＝。

(2)电子刚好不从边界Ⅲ穿出时轨迹与边界相切，运动半径为R＝d

由evB＝m得v＝

电子在PQ间由动能定理得eU＝mv2－0

解得U＝。

[答案]　(1)　(2)

(1)带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往是对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。

(2)画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。

3．如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知：2R＝OB·cos 30°，OB＝，又有Bqv＝得v＝。]

1．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为(　　)

A.　　　　 B.

C.   D.

B　[以速度v正对着圆心射入磁场，将背离圆心射出，轨迹圆弧的圆心角为θ，如图，由几何关系知轨迹圆半径r＝，由半径r＝解得B＝，选项B正确。]

2．(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正负可能是(　　)

A.，正电荷   B.，正电荷

C.，负电荷   D.，负电荷

BC　[如图所示，若粒子带正电，则a＝r(1－sin 30°)＝，则B＝，选项B正确；若粒子带负电，则a＝r(1＋sin 30°)＝，则B＝，选项C正确。]

3．如图所示，在真空中宽为d的区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、带电荷量为q、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD边夹角为θ，为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，v0满足的条件是什么？(不计重力作用)

[解析]　当入射速率很小时，电子在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，

轨道半径越大，当轨道与右边界相切时，电子恰好不能从磁场射出，如图所示。

电子恰好射出时，由几何知识可得：r＋rcos θ＝d

又ev0B＝解得v0＝

所以为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，电子的速度

v0>。

[答案]　v0>