人教版 (新课标)第一章 静电场综合与测试学案

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[核心速填]
1．电场的力的性质
(1)电场强度的定义式E＝eq \f(F,d)，适用于任意电场。
(2)真空中点电荷的场强公式：E＝keq \f(Q,r2)，式中：
①Q为场源电荷的电荷量。
②r为研究的点到场源的距离。
(3)场强与电势差的关系式：E＝eq \f(U,d)，适用于匀强电场的计算，式中d为沿场强方向上的距离。
2．电场的能的性质
(1)电势的定义式：φ＝eq \f(Ep,q)，与零势能点的选取有关。
(2)电势差的定义式：UAB＝eq \f(WAB,q)，适用于任意电场。
(3)电势差与电势的关系式：UAB＝φA－φB，与零电势能点的选取无关。
(4)电场力做功与电势能变化的关系式：WAB＝－ΔEp。
3．电容
(1)定义式：C＝eq \f(Q,U)，适用于任何电容器。
(2)平行板电容器的决定式：C＝eq \f(εrS,4πkd)，仅适用于平行板电容器。
4．带电粒子在电场中的运动
(1)加速运动
用动能定理求解，基本关系式为
qU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)或qEd＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)(匀强电场)。
(2)偏转运动
①处理方法：运用运动的合成与分解的思想处理，也就是初速度方向上的匀速直线运动和电场力方向上的匀变速直线运动。
②偏转规律：在如图所示的匀强电场中，有以下规律偏转位移：y＝eq \f(qU,2md)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,v0)))eq \s\up20(2)。
速度偏转角的正切：tan φ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUl,mdveq \\al(2,0))。
(3)两个结论
①不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度总是相同的。
②粒子经电场偏转后， 合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到电场边缘的距离为eq \f(l,2)。
1.同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，库仑力实质上就是电场力，与重力、弹力一样，它也是一种基本力。注意力学规律的应用及受力分析。
2．明确带电粒子在电场中的平衡问题，实际上属于力学平衡问题，其中仅多了一个电场力而已。
3．求解这类问题时，需应用有关力的平衡知识，在正确的受力分析的基础上，运用平行四边形定则、三角形定则或建立平面直角坐标系，应用共点力作用下物体的平衡条件，灵活运用方法(如合成分解法、矢量图示法、相似三角形法、整体法等)去解决。
【例1】 如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
D [如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；若a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由几何关系可知∠a＝37°、∠b＝53°，则Fasin 37°＝Fbcs 37°，解得eq \f(Fa,Fb)＝eq \f(4,3)，又由库仑定律及以上各式代入数据可解得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(qa,qb)))＝eq \f(64,27)，B错误，D正确。]
1．(多选)如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球A的质量为m、电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为D.静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则( )
A．小球A与B之间库仑力的大小为eq \f(kq2,d2)
B．当eq \f(q,d)＝eq \r(\f(mgsin θ,k))时，细线上的拉力为0
C．当eq \f(q,d)＝eq \r(\f(mgtan θ,k))时，细线上的拉力为0
D．当eq \f(q,d)＝eq \r(\f(mg,ktan θ))时，斜面对小球A的支持力为0
AC [根据库仑定律可知小球A与B之间的库仑力大小为keq \f(q2,d2)，选项A正确；若细线上的拉力为零，小球A受重力、库仑力和支持力作用，如图所示，由平衡条件可得F＝keq \f(q2,d2)＝mgtan θ，则有eq \f(q,d)＝eq \r(\f(mgtan θ,k))，选项B错误，选项C正确；因为两小球带同种电荷，所以斜面对小球A的支持力不可能为0，选项D错误。]
1.带电粒子在复合场中的运动是指带电粒子在运动过程中同时受到电场力及其他场力的作用。较常见的是在运动过程中，带电粒子同时受到重力和电场力的作用。
2．由于带电粒子在复合场中的运动是一个综合电场力、电势能的力学问题，研究的方法与质点动力学的研究方法相同，它同样遵循运动的合成与分解、力的独立作用原理、牛顿运动定律、动能定理、功能原理等力学规律。
【例2】 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一个质量为m、带正电的珠子。空间存在水平向右的匀强电场，如图所示。珠子所受的静电力是其重力的eq \f(3,4)，将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则：
(1)珠子所能获得的最大动能是多大？
(2)珠子对环的最大压力是多大？
[解析] (1)由qE＝eq \f(3,4)mg，设qE、mg的合力F合与竖直方向的夹角为θ，则有tan θ＝eq \f(3,4)，解得θ＝37°。设珠子到达B点时动能最大，则珠子从A点由静止释放后从A到B的过程中做加速运动，如图所示，在B点时动能最大，由动能定理得
qErsin θ－mgr(1－cs θ)＝Ek，
解得在B点时的动能，即最大动能Ek＝eq \f(1,4)mgr。
(2)设珠子在B点受到的圆环弹力为FN，有
FN－F合＝eq \f(mv2,r)，
即FN＝F合＋eq \f(mv2,r)＝eq \r(（mg）2＋（qE）2)＋eq \f(1,2)mg＝eq \f(5,4)mg＋eq \f(1,2)mg＝eq \f(7,4)mg，
由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力为eq \f(7,4)mg。
[答案] (1)eq \f(1,4)mgr (2)eq \f(7,4)mg
[一语通关]
(1)在最低位置A时动能为零，压力等于重力。
(2)珠子在所受合力方向过圆心的最低位置动能最大、对环的压力也最大。
2．(多选)如图所示，MNQP为有界的竖直向下的匀强电场，电场强度为E，ACB为固定的光滑半圆形轨道，轨道半径为R，A、B为轨道水平直径的两个端点。一个质量为m、电荷量为－q的带电小球从A点正上方高为H处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆形轨道。不计空气阻力及一切能量损失，关于带电小球的运动情况，下列说法正确的是( )
A．小球一定能从B点离开轨道
B．小球在AC部分可能做匀速圆周运动
C．小球到达C点的速度可能为零
D．当小球从B点离开时，上升的高度一定等于H
BD [若静电力大于重力，则小球有可能不从B点离开轨道，选项A错误。若静电力等于重力，则小球在轨道上做匀速圆周运动，选项B正确。因为从A到B静电力做功代数和为零，系统只有重力做功，故小球到达B点后仍能上升到H高度，选项D正确。若小球到达C点的速度为零，则电场力大于重力，小球将脱离轨道运动，不可能到达C点，选项C错误。]
1．在电场中，若静电力对电荷做正功，则电荷的电势能减少，静电力对电荷做了多少正功，电荷的电势能就减少多少；若静电力对电荷做负功，则电荷的电势能增加，电荷克服静电力做了多少功，电荷的电势能就增加多少。
2．在电场中，当只有静电力做功时，电荷的动能与电势能的总和是不变的。
3．如果在电场中除了静电力做功外，还有重力做功，则电势能、动能和重力势能三者之间可以相互转化，且三者的总和保持不变。这就是普遍的能量守恒定律在电场中的具体应用。
【例3】 (多选)如图所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力的作用下沿以Q为焦点的椭圆运动。M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点。电子在从M点经P点到达N点的过程中( )
A．速度先增大后减小 B．速度先减小后增大
C．电势能先减小后增大 D．电势能先增大后减小
AC [电子在从M点经P点到达N点的过程中，先靠近正电荷，然后再远离正电荷，因此静电力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大；再根据动能定理，靠近时合外力(即静电力)做正功，则动能增加，速度增大，反之，远离时速度减小，故选项A、C正确。]
[一语通关]
(1)求解本题可以用静电力做功与电势能变化的关系以及动能定理来解决。
(2)如果注意到题目的情境跟天体在万有引力作用下的运动相似，就可以借鉴那种情况下天体的引力势能与引力做功以及动能变化的关系来解答，因为本题就是把引力势能改换成电势能来考查的。
3．图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
AB [电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程中电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确。由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2 eV，C错误。电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝eq \f(1,2)mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的eq \r(2)倍，D错误。如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。]电场中的平衡问题
带电粒子在复合场中的运动
电场中的功能关系