北师大版九年级上册6 应用一元二次方程学案

这是一份北师大版九年级上册6 应用一元二次方程学案，共14页。
一元二次方程中的最值问题和动点问题
教学目标
要求熟练掌握这两个问题的关键点
教学重点
配方的方法及以静制动方法的应用
教学难点
综合应用
知识详解
一元二次方程（最值与动点等综合问题）
【例1】证明代数式的值恒大于零，并求出这个代数式的最小值
练习：
1、试说明代数式-4x2+8x-5的值是正数还是负数，并求出它的最大值或最小值．
2、证明关于x的方程，无论m为何值，方程都是一元二次方程．
【例2】联华超市销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件。求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，且让顾客感到实惠，每件衬衫应降价多少元？
（2）用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多，最多是多少？
（1）20元；（2）1250元
试题分析：（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，商场平均每天要赢利1200元，且让顾客尽可能感到实惠”即可列方程求解；
（2）先配方为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w=（40-x）（20+2x）=-2x 2 +60x+800=-2（x-15） 2 +1250
当w=1200时，-2x 2 +60x+800=1200，
解之得x 1 =10，x 2 =20．
根据题意要尽快减少库存，让顾客得到实惠，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元；
（2）商场每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15） 2 +1250．
当x=15元时，商场盈利最多，为1250元
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，为1250元．
练习：商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．
（1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售 件商品，商场每天可盈利 元；
（2）设销售价定为x元时，商品每天可销售 件，每件盈利 元；
（3）在商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场每天盈利可达到1500元（提示：盈利=售价-进价）；
（4）能不能通过适当的降价，使商场的每天盈利达到最大？若能，请求出售价多少元时每天盈利最大，每天最大盈利为多少元（若能，可直接写出答案）？若不能，请说明理由．
（1）由题意得，每天可销售：70-（140-130）=60（件），
商场可盈利为：60×（140-120）=1200（元），
（2）设销售价定为x元，
则销售量为：70-（x-130）=200-x，
每件盈利为：x-120，
（3）设每天盈利为y，销售价定为x元，
由题意得，y=（200-x）（x-120）=-x2+320x-24000，
当y=1500时，
解得：x1=150，x2=170，
答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利可达到1500元．
（4）能．
y=-x2+320x-24000=-（x-160）2+1600，
∵-1＜0，
∴函数图象开口向下，函数有最大值，
即当售价160元时，每天盈利最大，每天最大盈利为1600元．
故答案为：60，1200；：（200-x），（x-120）．
【例3】如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
（1）BQ=x，PB=8-2x
（2）∵∠B=90°，AC=10cm，BC="6cm"
∴AB=8
∵，四边形APQC的面积等于20cm2
∴
即，
化简：，
∴当x=2s时，四边形APQC的面积等于20cm2.
（1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程=速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度；
（2）由于∠B=90°，如果△PBQ为等腰三角形，那么只有一种情况，即BP=BQ，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值；
（3）根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断．
练习：如图，在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿线段AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿线段BC向点C以2cm/s的速度移动，点P、Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0＜t＜3.5）
（1）经过几秒钟后，PQ的长度等于5cm．
（2）经过几秒钟后，△BPQ的面积等于4cm．
（3）经过几秒钟后，△DPQ是等腰三角形？
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD=5cm，AD=BC=7cm，
∵AP=t，BQ=2t，
∴BP=5-t．
在Rt中△PBQ中由勾股定理得：
（5-t）2+（2t）2=25，
解得：t1=0，t2=2，
∵0＜t＜3.5，
∴t=2
∴经过2秒钟后，PQ的长度等于5cm；
（2）∵AP=t，BQ=2t，
∴BP=5-t．
∴S△PBQ=
2t(5?t)
2
＝4，
解得：t1=1，t2=4，
∵0＜t＜3.5，
∴t=1．
∴经过1秒钟后，△BPQ的面积等于4cm2；
（3）∵AP=t，BQ=2t，
∴BP=5-t，CQ=7-2t，
在Rt△APD，Rt△BPQ，Rt△CDQ中由勾股定理得：
PD2=t2+49，
PQ2=（5-t）2+4t2，
=25-10t+5t2，
DQ2=25+（7-2t）2，
=74-28t+4t2．
当t2+49=74-28t+4t2，
解得：t1=1，t2=
25
3
（舍去），
当t2+49=25-10t+5t2，
解得：t1=4（舍去），t2=-
3
2
（舍去）；
当74-28t+4t2=25-10t+5t2，
解得：t1=9+
130
，t2=9-
130
．
∵0＜t＜3.5，
∴t1=9+
130
（舍去），t2=9-
130
（舍去）．
综上所述t=1时，△DPQ是等腰三角形．
【例4】已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t(s)，解答下列各问题：
（1）求的面积
（2）当t为何值是，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使的面积是面积的九分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由。
解：（1）根据题意：AP=tcm，BQ=tcm
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t ）cm
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°
当∠BQP=90°时，BQ=BP
即t=（3-t ），
t=1 （秒）
当∠BPQ=90°时，BP=BQ
3-t=t，
t=2 （秒）
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形。
（2）过P作PM⊥BC于M
Rt△BPM中，sin∠B=，
∴PM=PB·sin∠B=（3-t ）
∴S△PBQ=BQ·PM=· t ·（3-t ）
∴y=S△ABC-S△PBQ=×32×-· t ·（3-t ）
=
∴y与t的关系式为：y=
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC=S△ABC
∴=
∴t2-3t+3=0
∵（-3）2-4×1×3＜0，
∴方程无解
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的。
（3）在Rt△PQM中，MQ=
MQ2+PM2=PQ2
∴
=
=
=3t2-9t+9
∴
∵y=
∴y=
=
=
∴y与x的关系式为：y=。
练习：如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．
（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD= S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1 ）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC=5cm，且∠ADB=90°，
∴AD==12（cm） ．
即AD的长为12cm；
（2）AP=t，PD=12-t，
S △PDC=PD·DC=×5（12-t）
又由S△PDC=15，得（12-t）=15，
解得，t=6；
（3）假设存在t，使得S △PMD=S △ABC，
①若点M在线段CD上，
即0 ≤t ≤时，PD=12-t，DM=5-2t，
由S △PMD=S △ABC，
即×（12-t）（5-2t）=52t2-29t+50=0
解得t1=12.5 （舍去），t2=2，
②若点M 在射线DB上，即≤t ≤12，
由S △PMD=S △ABC 得（12-t）（2t-5）=2t2-29t+70=0
解得，
综上，存在t的值为2或或，使得S△PMD=S△ABC。
【例5】如图，已知A，B两点是直线AB与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点，且OA，OB的长分别是x2-14x+48=0的两个根（OA＞OB），射线BC平分∠ABO交x轴于C点，若有一动点P以每秒1个单位的速度从B点开始沿射线BC移动，运动时间为t秒
（1）设△APB和△OPB的面积分别为S1，S2，求S1：S2；
（2）求直线BC的解析式；
（3）在点P的运动过程中，△OPB可能是等腰三角形吗？若可能，求出时间t；若不可能，请说明理由．
巩固检测
1、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是
设CN=xcm，则DN=（8-x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8-x）cm，
而EC=
1
2
BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．
故选A．
在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB＝，则AC的长是 gen3
用16cm长的铁丝弯成一个矩形，用长18cm长的铁丝弯成一个腰长为5cm的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，则矩形的边长为 2或6
4、如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后，BP= cm，BQ= cm；
（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？
（1）由题意，得
AP=6cm，BQ=12cm．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12-6=6cm．
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12-x，BQ=2x，
∴12-x=2×2x，
∴x=
12
5
，
当∠QPB=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12-x），
x=6
答6秒或
12
5
秒时，△BPQ是直角三角形；
（3）作QD⊥AB于D，
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB=
1
2
BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ=
3
x，
∴
(12-x)
3
x
2
=10
3
，
解得；x 1 =10，x 2 =2，
∵x=10时，2x＞12，故舍去
∴x=2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于 10
3
cm 2 ．
故答案为：6、12．
5、练习：如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点P从A出发沿线段AB运动，过点P作PF∥BC，交线段AC于点F．
（1）点P在运动的过程中，△APF的形状 （填“改变”或“不变”）．如果改变，请指出所有可能出现的形状；如果不变，请指出它是什么三角形．
（2）如图2以顶点B为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P从A出发的同时，点Q从C出发沿BC的延长线运动，它们的运动速度相同，连线PQ与边AC交于点D．试解决以下两个问题：
①当AP为何值时，S△PCQ=S△ABC；
②作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
教学反思