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    北师大版九年级上册第二单元一元二次方程根与系数的关系及解应用题复习讲义 (2)

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    北师大版九年级上册6 应用一元二次方程导学案及答案

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    这是一份北师大版九年级上册6 应用一元二次方程导学案及答案,共8页。学案主要包含了课堂练习,典型例题等内容,欢迎下载使用。
    复习回顾
    1、一元二次方程的一般式:,为二次项系数,为一次项系数,为常数项。
    2、一元二次方程的解法
    直接开平方法 (也可以使用因式分解法)
    = 1 \* GB3 ① 解为:
    因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法
    如: 此类方程适合用提供因此,而且其中一个根为0

    注意:提取整个因式的方法非常常见,解题的过程中一定要认真观察。


    十字相乘法非常实用,注意在解题的过程中多考虑。
    配方法
    = 1 \* GB3 ①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,如下所示:
    = 2 \* GB3 ②二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:
    示例:
    备注:实际在解方程的过程中,一般也只是针对且为偶数时,才使用配方法,否则可以考虑使用公式法来更加简单。
    (4)公式法:一元二次方程,用配方法将其变形为:
    = 1 \* GB3 ①当时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:
    = 2 \* GB3 ② 当时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:
    = 3 \* GB3 ③ 当时,右端是负数.因此,方程没有实根。
    注意:虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。
    备注:公式法解方程的步骤:
    = 1 \* GB3 ①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:,并确定出、、
    = 2 \* GB3 ②求出,并判断方程解的情况。
    = 3 \* GB3 ③代公式:(要注意符号)
    练习1 用适当方法解方程:
    (1) (2) (3)

    (4) (5)
    (6) (7)
    扩展题型
    例1、为何值时,方程组
    有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?
    例2、换元法 例:
    练习:
    例3、若,则4x+y的值为 。
    变式1: 。
    变式2:若,则x+y的值为 。
    变式3:若,,则x+y的值为 。
    例4、已知,则的值为 。
    变式:已知,且,则的值为 。
    新知讲解:一元二次方程的根与系数的关系
    法1:一元二次方程的两个根为:
    所以:,
    定理:如果一元二次方程定的两个根为,那么:
    法2:如果一元二次方程定的两个根为;那么
    两边同时除于,展开后可得:

    法3:如果一元二次方程定的两个根为;那么
    = 2 \* GB3 ②
    = 1 \* GB3 ①
    = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得:(余下略)
    常用变形:
    , , ,
    , ,

    根系关系的三大用处
    (1)计算对称式的值
    例 若是方程的两个根,试求下列各式的值:
    (1) ;(2) ;(3) ;(4) .
    【课堂练习】
    1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则x12+x22的值为_________
    2.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x1+x2= ,x1·x2= ,(x1-x2)2=
    3.已知方程2x2-3x+k=0的两根之差为2 EQ \F(1,2) ,则k= ;
    4.若方程x2+(a2-2)x-3=0的两根是1和-3,则a= ;
    5.若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为 ;
    设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值:
    (1)x12x2+x1x22 (2) EQ \F(1,x1) - EQ \F(1,x2)
    7.已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
    (2)构造新方程
    理论:以两个数为根的一元二次方程是。
    例 解方程组 x+y=5
    xy=6
    (3)定性判断字母系数的取值范围
    例 一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。
    【典型例题】
    例1 已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.
    (1) 方程两实根的积为5;(2) 方程的两实根满足.
    例2 已知是一元二次方程的两个实数根.
    (1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由.
    (2) 求使的值为整数的实数的整数值.
    一元二次方程解应用题
    探究点1 一元二次方程这个模型的实际应用
    【例1】某养殖专业户因扩大养殖规模,他计划用现有的35m长的篱笆围一个面积为150m2的长方形鸭舍,鸭舍的一边靠着原有的一面墙.
    (1)该专业户该怎样建鸭舍?
    (2)若墙的长度只有19m,那么鸭舍又该怎样建?

    练习1.市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格.某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
    2.某旅游区每周都吸引大量中外游客前来参观,如果游客过多,对旅游区的景点会产生不利影响,但同时考虑旅游区的管理和改善问题,还要保证一定的门票收入.因此,旅游区采用了涨浮门票的价格来控制参观人数,在该办法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在图所示的一次函数关系,在这样的情况下,如果要确保每周4万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?
    3.某大学为改善校园环境,计划在一块长80米,宽60米的矩形场地的中央建一矩形网球场,网球场占地面积为3500平方米,四周为宽度相等的人行步道,求人行步道的宽度.
    4.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
    探究点2 数形结合问题
    【例2】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
    (1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒后,△PBQ的面积等于8cm?
    (2)如果P,Q分别从A,B同时出发,并且P到B点后又继续在BC边上前进,Q到C点又继续在CA边上前进,经几秒后,△PCQ的面积等于12.6cm2?

    5.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
    (1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根.
    (2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰好是这个方程的两根,求△ABC的周长.
    6.如图,甲,乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B,C同时出发,甲由C点向D点运动,乙由B点向C点运动,甲的速度为1米/秒,乙的速度为2米/秒,若正方形的周长为400米,问几秒后,两人每一次相距20米?

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