北师大版九年级上册6 应用一元二次方程导学案及答案
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这是一份北师大版九年级上册6 应用一元二次方程导学案及答案,共8页。学案主要包含了课堂练习,典型例题等内容,欢迎下载使用。
复习回顾
1、一元二次方程的一般式:,为二次项系数,为一次项系数,为常数项。
2、一元二次方程的解法
直接开平方法 (也可以使用因式分解法)
= 1 \* GB3 ① 解为:
因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法
如: 此类方程适合用提供因此,而且其中一个根为0
注意:提取整个因式的方法非常常见,解题的过程中一定要认真观察。
十字相乘法非常实用,注意在解题的过程中多考虑。
配方法
= 1 \* GB3 ①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,如下所示:
= 2 \* GB3 ②二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:
示例:
备注:实际在解方程的过程中,一般也只是针对且为偶数时,才使用配方法,否则可以考虑使用公式法来更加简单。
(4)公式法:一元二次方程,用配方法将其变形为:
= 1 \* GB3 ①当时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:
= 2 \* GB3 ② 当时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:
= 3 \* GB3 ③ 当时,右端是负数.因此,方程没有实根。
注意:虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。
备注:公式法解方程的步骤:
= 1 \* GB3 ①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:,并确定出、、
= 2 \* GB3 ②求出,并判断方程解的情况。
= 3 \* GB3 ③代公式:(要注意符号)
练习1 用适当方法解方程:
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
扩展题型
例1、为何值时,方程组
有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?
例2、换元法 例:
练习:
例3、若,则4x+y的值为 。
变式1: 。
变式2:若,则x+y的值为 。
变式3:若,,则x+y的值为 。
例4、已知,则的值为 。
变式:已知,且,则的值为 。
新知讲解:一元二次方程的根与系数的关系
法1:一元二次方程的两个根为:
所以:,
定理:如果一元二次方程定的两个根为,那么:
法2:如果一元二次方程定的两个根为;那么
两边同时除于,展开后可得:
;
法3:如果一元二次方程定的两个根为;那么
= 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得:(余下略)
常用变形:
, , ,
, ,
等
根系关系的三大用处
(1)计算对称式的值
例 若是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1) ;(2) ;(3) ;(4) .
【课堂练习】
1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则x12+x22的值为_________
2.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x1+x2= ,x1·x2= ,(x1-x2)2=
3.已知方程2x2-3x+k=0的两根之差为2 EQ \F(1,2) ,则k= ;
4.若方程x2+(a2-2)x-3=0的两根是1和-3,则a= ;
5.若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为 ;
设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值:
(1)x12x2+x1x22 (2) EQ \F(1,x1) - EQ \F(1,x2)
7.已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(2)构造新方程
理论:以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5
xy=6
(3)定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。
【典型例题】
例1 已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.
(1) 方程两实根的积为5;(2) 方程的两实根满足.
例2 已知是一元二次方程的两个实数根.
(1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由.
(2) 求使的值为整数的实数的整数值.
一元二次方程解应用题
探究点1 一元二次方程这个模型的实际应用
【例1】某养殖专业户因扩大养殖规模,他计划用现有的35m长的篱笆围一个面积为150m2的长方形鸭舍,鸭舍的一边靠着原有的一面墙.
(1)该专业户该怎样建鸭舍?
(2)若墙的长度只有19m,那么鸭舍又该怎样建?
练习1.市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格.某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
2.某旅游区每周都吸引大量中外游客前来参观,如果游客过多,对旅游区的景点会产生不利影响,但同时考虑旅游区的管理和改善问题,还要保证一定的门票收入.因此,旅游区采用了涨浮门票的价格来控制参观人数,在该办法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在图所示的一次函数关系,在这样的情况下,如果要确保每周4万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?
3.某大学为改善校园环境,计划在一块长80米,宽60米的矩形场地的中央建一矩形网球场,网球场占地面积为3500平方米,四周为宽度相等的人行步道,求人行步道的宽度.
4.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
探究点2 数形结合问题
【例2】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒后,△PBQ的面积等于8cm?
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,并且P到B点后又继续在BC边上前进,Q到C点又继续在CA边上前进,经几秒后,△PCQ的面积等于12.6cm2?
5.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰好是这个方程的两根,求△ABC的周长.
6.如图,甲,乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B,C同时出发,甲由C点向D点运动,乙由B点向C点运动,甲的速度为1米/秒,乙的速度为2米/秒,若正方形的周长为400米,问几秒后,两人每一次相距20米?
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