初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程导学案

这是一份初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程导学案，共10页。学案主要包含了知识回顾，典型例题解析，考点训练，典型考题，课时训练等内容，欢迎下载使用。
前课回顾
一元二次方程专题复习
【知识回顾】
1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:
四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
(≥)
注意：（1）一定要注意，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进；
（2）掌握一元二次方程求根公式的推导;
（3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”.
2．根的判别式及应用()：
(1)一元二次方程根的情况：
①当时，方程有两个不相等的实数根；
②当时，方程有两个相等的实数根；
③当时，方程无实数根.
(2)判定一元二次方程根的情况；
(3)确定字母的值或取值范围。
3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：
韦达定理:如一元二次方程的两根为，则，
适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；
(2)求与方程的根有关的代数式的值；
(3)已知两根求作方程；
(4)已知两数的和与积，求这两个数；
(5)确定根的符号:(是方程两根)；
（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是的两直角边求斜边等情况.
注意：（1）
（2）；
（3）①方程有两正根，则；
②方程有两负根，则 ；
③方程有一正一负两根，则；
④方程一根大于，另一根小于，则
（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为，即以为根的一元二次方程为;求字母系数的值时，需使二次项系数，同时满足≥;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和，两根之积的代数式的形式，整体代入。
4．用配方法解一元二次方程的配方步骤：
例：用配方法解
第一步，将二次项系数化为：，（两边同除以）
第二步，移项：
第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：
第四步，完全平方：
第五步，直接开平方：，即:,
知识详解
知识点一：一元二次方程的基本知识
1. 当____________时，方程是一元二次方程.
2. 已知是方程的一个根，则方程的另一根为__________.
3.一元二次方程的解是_____________.
4. 若关于的一元二次方程，且，则方程必有一根为____________.
5. 用配方法解方程,则下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
【典型例题解析】
1、关于的一元二次方程中，求的取值范围.
2、已知：关于的方程的一个根是，求方程的另一个根及的值。
3、用配方法解方程:
【考点训练】
1、关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.
2、解方程的最适当的方法（ ）
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法
3、若，则一元二次方程有一根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4、当__________时，不是关于的一元二次方程.
5、已知方程，则代数式_____________.
6、解下列方程：
（1）; (2) (3)（用配方法）：知识点二：一元二次方程根的判别式
1.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C.≤ D. ≤且
2. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根
3.已知关于的一元二次方程.请你为选取一个合适的整数，当____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；
4.若关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围
【典型考题】
1.已知关于的方程，当为何非负整数时：
(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.
2.已知是三角形的三条边，求证：关于的方程没有实数根.
【课时训练】
1、一元二次方程的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. ≥ D.
3、一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
4、求证：关于的方程有两个不相等的实数根。
考点三：一元二次方程的应用
一、考点讲解：
1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：
⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；
⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x）2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。
⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
二、经典考题剖析：
【考题1】课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．

【考题2】为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）
A.9﹪ B.10﹪ C. 11﹪ D.12 ﹪

【考题3】某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

【考题4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于4？
（2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？
P
Q
B
C
A

三、针对性训练：
1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？
合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
3．在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？
32m
20m
小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
5．如图12-3，△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△ABQ的面积等于8cm2?
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2。
中考真题
1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”．则你认为（ ）
A．只有小敏回答正确 B．只有小聪回答正确
C．两人回答都正确 D．两人回答都不正确
2.解一元二次方程x－x－12=0，结果正确的是（ ）
A．x=－4， x=3 B．x=4，x=－3 C．x=－4，x=－3 D．x=4，x=3
3.方程解是（ ）
A．x=1 B．x=0，x=－3
C．x=1，x=3 D．x=1，x=－3
4.若t是一元二次方程ax＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ=b－4ac和完全平方式M=(2at+b)的关系是（ ）
A．Δ=M B．Δ＞M
C．Δ＜M D．大小关系不能确定
5.方程 的根是（ ）
A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1
6.已知一元二次方程x －2x－7=0的两个根为x，x，则x+ x的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－7 D．7
7.已知x、x是方程x－3x＋1 ＝0的两个实数根，则的值是( )
A、3B、－3C、 eq \f(1,3) D、1
8.用换元法解方程(x＋x)＋(x＋x)＝6时，如果设x＋x＝y，那么原方程可变形为（ ）
A、y＋y－6＝0 B、y－y－6＝0
C、y－y＋6＝0 D、y＋y＋6＝0
9.方程x－5x=0的根是（）
A．0 B．0，5 C．5，5 D．5
10.若关于x的方程x＋2x＋k=0有实数根，则（ ）
A．k＜1，B．k≤1 C．k≤－1 D．k ≥－1
11.如果一元二次方程x－4x＋2＝0的两个根是x，x，那么x＋x等于（ ）
A. 4 B. －4 C. 2 D. －2
12.用换元法解方程(x－x)－＝6时，设＝y，那么原方程可化为（ ）
A.＋y－6＝0 B. ＋y＋6＝0
C. －y－6＝0 D. －y＋6＝0
13.设x，x是方程2x+3x-2=0的两个根，则x＋x的值是 ( )
A．-3 B．3 C．－ EQ \F(2,3) D． EQ \F(2,3)
14.方程x-x=0的解是（ ）
A．0，1 B．1，-1
C．0，-1 D．0，1，－1
15.用换元法解方程_ _
16.两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________
17.方程x－x=0的解是______________
18.等腰△ABC中，BC=8， AB、BC的长是关于x的方程x－10x+m= 0的两根，则m的值是________.
19.关于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是 _______________.
20.解方程
21.解方程：x－2x－3x＝0.
22.解方程组：
23.解方程：2（x－1）+5（x－l）+2=0．
24.解方程：x －2x－2=0
25.解方程：x +5x+3=0
26.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
27.已知关于 x的一元 二次方程的一个根为0，求k的值．
28.如图1－2－3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．（此题用到三角函数）