2022届高三新高考开学数学摸底考试卷4含答案

这是一份2022届高三新高考开学数学摸底考试卷4含答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题， 多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届新高考开学数学摸底考试卷4
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则＝
A． B． C． D．
3．若a，b，c满足，，，则
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a
4．已知函数(A＞0，＞0，)的图像如图所示，则
A．＝2，＝ B．＝2，＝
C．＝，＝ D．＝，＝
5．函数的部分图像大致为

A B C D
6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布N(105，)，(＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为
A．150 B．200 C．300 D．400
7．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?
A．90 B．120 C．140 D．150
8．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝，AP＝3，AB＝，Q是边BC 上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P—ABC的外接球的表面积为
A．50π B．55π C．57π D．108π

第4题 第10题
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知是定义域为R的函数，满足，，当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为4
B．的图像关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数的最小值为
10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则
A．直线DD1与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则
A．实轴为2
B．渐近线为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
12．已知，，记M＝，则
A．M的最小值为 B．当M最小时，
C．M的最小值为 D．当M最小时，
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知向量＝(1，m)，＝(，)，若^，则m＝ ．
14．的展开式中x的系数为 ．
15．某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有
种．
16．已知函数，①若a＝1，则不等式的解集为 ；②若存 在实数b，使函数有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(b﹣a)(sinB＋sinA)＝c(sinB﹣sinC)．
（1）求A的大小；
（2）若a＝2，B＝，求△ABC的面积．




18．（本小题满分12分）
给出下列三个条件：①，，成等差数列；②对于，点(n，)均在函数的图像上，其中a为常数；③．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设是一个公比为q(q＞0，q≠1)的等比数列， ，且它的首项．
（1）求数列的通项公式；
（2）令()，证明的前n项和．



19．（本小题满分12分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE^AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D^DC，如图2．
（1）求证：A1E^平面BCDE；
（2）求二面角E—A1B—C的余弦值．




20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：(a＞b＞0)的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直 线的斜率．




21．（本小题满分12分）
南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
得分
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
男性人数
40
90
120
130
110
60
30
女性人数
20
50
80
110
100
40
20
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?

不太了解
比较了解
总计
男性



女性



总计



（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人， 连同m(m)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这m＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数的期望不小于2，求m的最小值．
附公式及表：
，其中．
P()
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中aR，是的一个极值点，且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求实数和a的值；
（3）证明()．


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2022届新高考开学数学摸底考试卷4
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C． D．
答案：C
解析：∵集合A＝，∴集合A＝，
∵集合B＝，∴集合B＝，
∴AB＝，故选C．
2．已知复数满足，则＝
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵，∴，，
∴，故选D．
3．若a，b，c满足，，，则
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a
答案：A
解析：由，知1＜a＜2，由，，
∴c＜a＜b，故选A．
4．已知函数(A＞0，＞0，)的图像如图所示，则

A．＝2，＝ B．＝2，＝
C．＝，＝ D．＝，＝
答案：D
解析：，，，，，
∵，∴＝，故选D．
5．函数的部分图像大致为

A B C D
答案：C
解析：首先可判断出原函数是奇函数，其次x＞0时，＞0，故选C．
6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布N(105，)，(＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为
A．150 B．200 C．300 D．400
答案：C
解析：，故选C．
7．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?
A．90 B．120 C．140 D．150
答案：B
解析：．故选B．
8．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝，AP＝3，AB＝，Q是边BC 上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P—ABC的外接球的表面积为
A．50π B．55π C．57π D．108π
答案：C
解析：三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，
如图所示；则，且的最大值是，
，的最小值是，即到的距离为，
，，在中可得，即可得；
取的外接圆圆心为，作，
，解得；
，
取为的中点，，，
由勾股定理得，
三棱锥的外接球的表面积是
．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知是定义域为R的函数，满足，，当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为4
B．的图像关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数的最小值为
答案：ABC
解析：由知的最小正周期为4，故A正确；
由知的图像关于直线x＝2对称，故B正确；
当0≤x≤4时，函数的最大值为2，故C正确；
当6≤x≤8时，函数的最小值为，故D错误．故选ABC．
10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则

A．直线DD1与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
答案：BD
解析：取中点，则为在平面上的射影，
与不垂直，与不垂直，故错；
取中点，连接，，可得平面平面，故正确；
把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故D正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故C错．
故选：BD．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则
A．实轴为2
B．渐近线为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
答案：BC
解析：由双曲线 的方程可得，，，，所以，，，所以不正确，
所以实轴长，离心率，渐近线方程为，所以，正确，
因为准线方程为，设渐近线与渐近线的交点为，两个方程联立可得，另一条渐近线的方程为：，所以到它的距离为，所以不正确．
故选：．
12．已知，，记M＝，则
A．M的最小值为 B．当M最小时，
C．M的最小值为 D．当M最小时，
答案：AB
解析：由，得，
的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，
由得，
因为与直线平行的直线斜率为，
所以，解得，则切点坐标为，
所以到直线上的距离
，
即函数上的点到直线上的点的距离最小值为，
所以的最小值为，
又过且与垂直的直线为，即，
联立，解得，
即当最小时，．
故选：AB．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知向量＝(1，m)，＝(，)，若^，则m＝ ．
答案：
解析：．
14．的展开式中x的系数为 ．
答案：﹣280
解析：由于的展开式的通项公式为，
则令，求得，可得展开式中x的系数为．
15．某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有
种．
答案：20
解析：依题意，就甲实际购买的手机颜色进行分类，第一类，甲实际购买的手机颜色为“亮黑色”与“星河银”之一，满足题意的购买方案有(种)；第二类，甲实际购买的手机颜色不是“亮黑色”，也不是“星河银”，满足题意的购买方案有(种)，由分类加法计数原理可知，满足题意的购买方案有8＋12＝20(种)．
16．已知函数，①若a＝1，则不等式的解集为 ；②若存 在实数b，使函数有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
答案：①（－∞，0] ②（－∞，2）∪（4，＋∞）
解析：①当时，，则令，即有或，解得x≤0或，
故的解集为（－∞，0]；
②由函数只有一个零点时，时，或，
当时，，此时只有一个零点；
当时，有2个零点；
同理当时，，只有一个零点
当a＞4时，有2个零点， 故可得a的取值范围是（－∞，2）∪（4，＋∞）．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(b﹣a)(sinB＋sinA)＝c(sinB﹣sinC)．
（1）求A的大小；
（2）若a＝2，B＝，求△ABC的面积．
解：（1）因为，
由正弦定理，得，即，
所以，
因为，所以．
（2） 由正弦定理，得．
由余弦定理，得，
解得．
所以的面积．
18．（本小题满分12分）
给出下列三个条件：①，，成等差数列；②对于，点(n，)均在函数的图像上，其中a为常数；③．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设是一个公比为q(q＞0，q≠1)的等比数列， ，且它的首项．
（1）求数列的通项公式；
（2）令()，证明的前n项和．
解：若选：因为成等差数列，所以.
又因为数列是等比数列，即解得 或（舍去）……3分
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式
若选：点均在函数的图像上，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式
若选：，因为是公比为的等比数列，
所以，即解得或（舍去）
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式
（2）证明：因为，所以
所以
所以
19．（本小题满分12分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE^AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D^DC，如图2．
（1）求证：A1E^平面BCDE；
（2）求二面角E—A1B—C的余弦值．

解：（1）∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC．
又∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E．
又∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，∴A1E⊥平面BCDE．
（2）∵A1E⊥平面BCDE，DE⊥BE，
∴以EB，ED，EA1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（如图）．

易知DE=2，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，
∴=(−2，0，2)，=(2，2，0)，
易知平面A1BE的一个法向量为n=(0，1，0)．
设平面A1BC的法向量为m=(x，y，z)，
由·m=0，·m=0，得令y=1，得m=(−，1，−)，
∴cos〈m，n〉===．
由图得二面角E −A1B −C为钝二面角，∴二面角E −A1B −C的余弦值为−．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：(a＞b＞0)的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直 线的斜率．
解：（1）由题意知，直线的方程为，，
右焦点到直线的距离为，
又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，椭圆的方程为；
（2）由（1）知，， 直线的方程，
联立方程组，
解得或（舍），即，
直线的斜.
其他方法：
方法二: 由（1）知，， 直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.
方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，，
所以,，当三点共线时有，，
即，解得或，又由题意知，得或，所以.
21．（本小题满分12分）
南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
得分
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
男性人数
40
90
120
130
110
60
30
女性人数
20
50
80
110
100
40
20
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?

不太了解
比较了解
总计
男性



女性



总计



（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人， 连同m(m)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这m＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数的期望不小于2，求m的最小值．
附公式及表：
，其中．
P()
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为
＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民得分不低于60分的概率为0.6；
（2）由题意得列联表如下：

不太了解
比较了解
总计
男性
250
330
580
女性
150
270
420
总计
400
600
1000

K2＝≈5.542
因为 5.542＞3.841，
所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关
（3） 由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人
随机变量ξ的所以可能取值为0，1，2，3，其中
P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，

所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3

P





E（ξ）＝×0＋×1＋×2＋×3≥2
解得m≥2，所以m的最小值为2

法二：由题意知，随机变量ξ服从超几何分布H（3，m＋6，m＋10），
则E（ξ）＝，
由E（ξ）≥2 得m≥2，所以m的最小值为2

22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中aR，是的一个极值点，且．
（1）讨论函数的单调性；
（3） 求实数和a的值；
（3）证明()．
解：（1）函数f(x)的定义域为（0，＋∞），且f ¢(x)＝2x－2lnx－2，令h(x)＝f ¢(x)，
则有h¢(x)＝，由h¢(x)＝0可得x＝1，如下表：
x
（0，1）
1
（1，＋∞）
h¢(x)
－
0
＋
h(x)
↘
极小值
↗

所以h(x)≥h(1)＝0 ，即f ¢(x)≥0，f(x)在（0，＋∞）上单调递增
（2） 函数g(x)的定义域为（0，＋∞），且g ¢(x)＝1－－
由已知，得g ¢(x0)＝0，即 x02－2x0lnx0－a＝0 ①
由 g (x0)＝2可得x02－x0（lnx0）2－2x0＋a＝0 ②
联立①②消去a可得2x0－（lnx0）2 －2lnx0－2＝0 ③
令 t (x)＝2x－（lnx）2 －2lnx－2，则t¢ (x)＝2－－ ＝
由 ①知 x－lnx－1≥0，故t¢ (x)≥0，所以t (x)在（0，＋∞）上单调递增
t (1)＝0，所以方程③有唯一解x0＝1，代入①，可得a＝1.
（3） 由（1）知f (x)＝x2－2xlnx在（0，＋∞）上单调递增，
故当x∈（1，＋∞），f (x)＞f (1)＝1，所以g ¢(x)＝1－－＝＞0，
可得g(x)在（1，＋∞）上单调递增。当x＞1时， g(x)＞g(1)＝2，即x＋－（lnx）2 ＞2
亦即（－ ）2＞（lnx）2 ，这时－＞0， lnx＞0，故得－＞lnx
取x＝，k∈N*。可得－＞ln（2k＋1）－ln（2k－1）
而－＝ 故＞[ln（2k＋1）－ln（2k－1）]＝ln（2n＋1）
所以＞ln（2n＋1）