2022届高三新高考开学数学摸底考试卷8含答案

这是一份2022届高三新高考开学数学摸底考试卷8含答案，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届新高考开学数学摸底考试卷8

一、单项选择题：（每题5分，共40分）
1. 函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
3. 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设函数为R上的增函数，a、，则是的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件
6. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（选错不得分，漏选得3分，每题5分，共20分）
9. 对于函数，下列判断正确是（ ）
A.
B. 当时，方程有唯一实数解
C. 函数的值域为
D. ，
10. 设，a，.若无实根，则下列结论成立的有（ ）
A. 当时， B. ，
C. ， D. ，使得成立
11. 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）

A. 1个极大值点，2个极小值点 B. 2个零点
C. 0个零点 D. 2个极小值点，无极大值点
12. 已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C
D. 当时，
三、填空题：（每题5分，共20分）
13. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
14. 已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则______.
15. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _____

16. 一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.
四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记函数的定义域、值域分别为集合A，B.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18. 设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为A，O为坐标原点，点O到直线的距离为，为等腰直角三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若倾斜角为45°的直线经过椭圆C的右焦点，且与椭圆C交于M，N两点（M点在N点的上方），求线段与的长度之比.
19. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.




76
83
812
526

20. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
21.
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．
22. 设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为极值点，为的零点，且，证明.


2022届新高考开学数学摸底考试卷8
一、单项选择题：（每题5分，共40分）
1. 函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
2. 若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
结合排列组合的知识，利用分步乘法计数原理求得5个字母排成一排所有可能的写法的种数，则可确定错误写法的种数.
【详解】解：将5个字母排成一排，可分三步进行：
第一步：排e,o，共有种排法；
第二步：排三个r，共有种排法；
将5个字母排成一排共有种排法，
可能出现的错误写法的种数为种；
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够采用分步的方式，确定所有可能的结果的种数.
3. 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
5. 设函数为R上的增函数，a、，则是的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先证充分性，若，则，，根据函数为R上的增函数结合不等式的基本性质求解，必要性，采用反证法，假设，，根据函数为R上的增函数结合不等式的基本性质求解.
【详解】若，则，，
因为函数为R上的增函数，
所以，
由不等式的加法得：
，
故充分；
反之，若，假设，，
因为函数为R上的增函数，
所以，
由不等式的加法得：
，与题设矛盾，
则假设不成立，故必要；
故选：C
【点睛】本题主要考查充要条件的判断以及函数单调性，不等式的基本性质和反证法的应用，属于基础题.
6. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用古典概型概率公式，结合条件概率公式求解即可.
【详解】设事件 “4个人去的景点不相同”，
事件 “小赵独自去一个景点”，
则（A），
（B），
，
则
故选：A
【点睛】本题主要考查分组分配问题、古典概型概率公式，考查了条件概率的求解，属于中档题.
7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数满足，得到函数的周期是8，再由时，，且函数是定义在R上的奇函数，将转化求解.
【详解】因为函数满足，
所以，
所以函数的周期是8，
又当时，，且函数是定义在R上的奇函数，
所以，
，
，
.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.
8. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.
详解：令，因为，
所以
因此解集为 ，
选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
二、多选题：（选错不得分，漏选得3分，每题5分，共20分）
9. 对于函数，下列判断正确的是（ ）
A.
B. 当时，方程有唯一实数解
C. 函数的值域为
D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先根据奇函数的定义证得函数为奇函数，然后根据复合函数的单调性求得单调性及值域，逐项判断即可.
【详解】解：，故为奇函数，对于A，令，即，正确，故A正确；
当时，，
在上单调递增，
又，，且是奇函数，
的值域为．
的单调增区间为．
故B正确，C错误，
∵的单调增区间为，故，正确．D正确；
故选：ABD．
【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性值域等性质，属于中档题．
10. 设，a，.若无实根，则下列结论成立的有（ ）
A. 当时， B. ，
C. ， D. ，使得成立
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意分析可推出的图像恒在的上方，即恒成立，可判断选项A，B；
设，利用恒成立，判断C D即可.
【详解】若无实根，
因为对应的抛物线开口向上，
所以的图像恒在的上方，
即成立，故B正确；
当时，，故A正确；
由成立，
可设，
则，
即，，故C正确；D不正确.
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求解不等式的问题.属于较易题.
11. 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）

A. 1个极大值点，2个极小值点 B. 2个零点
C. 0个零点 D. 2个极小值点，无极大值点
【答案】AC
【解析】
【分析】
由图像知，根据函数有一个极大值点，两个极小值点，判断的符号即可得出A正确；，，则，则没有零点, C正确.
详解】解：

直线与曲线相切于两点，
有两个根，且，
由图象知，则
即，则函数，没有零点，故C正确.
函数有三个极值点，其中一个极大值点，两个极小值点，
设的三个极值点分别为，不妨设，
则，
①当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以在递减，
②当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
③当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以递减，
④当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
综合①②③④有，有1个极大值点，2个极小值点，故A正确.
故选：AC.
【点睛】考查函数零点以及极值点个数的判断，函数的零点个数转化为方程解的个数或与轴交点的个数，函数的极值点个数转化为其导函数变号零点的个数，中档题.
12. 已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D 当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】
设，函数单调递增，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；，不是恒小于零，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，
即，由此可判断D.得选项.
【详解】设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；
设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故 B错误；
，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；
当时，，故，函数单调递增，
故，
即，又，所以，
所以，所以有，故 D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.
三、填空题：（每题5分，共20分）
13. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
14. 已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则______.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据点A到C的焦点的距离为12，由抛物线的定义得到，然后由点A到y轴的距离为9，得到求解.
【详解】设抛物线的焦点为F，因为点A到C的焦点的距离为12，
所以由抛物线的定义知，
又因为点A到y轴的距离为9，
所以，
所以 ，
解得.
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.
15. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _____

【答案】
【解析】
设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，
∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A＋B＋AB)C.
∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P＝×＝.

16. 一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据题意求得的取值，结合题意，求得其分布列，则，得解.
【详解】根据题意可知，可取，
；
（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）
；
（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球；
第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；
第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）
.
故.
故答案为：；.
【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.
四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记函数的定义域、值域分别为集合A，B.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由对数函数的定义域和值域求得集合A，B.根据集合的交集运算可得答案；
（2）由已知条件可得是的真子集，从而可求得的取值范围．
【详解】（1）时，，由得，即，
由得，
∴；
（2）“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，若，
则由得，即，与（1）类似得，不合题意，
若，则，即，满足题意，
若，则，，，满足题意．
综上的取值范围是．
【点睛】本题考查对数函数的值域和定义域，以及集合间的交集运算，充分必要条件，属于基础题.
18. 设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为A，O为坐标原点，点O到直线的距离为，为等腰直角三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若倾斜角为45°的直线经过椭圆C的右焦点，且与椭圆C交于M，N两点（M点在N点的上方），求线段与的长度之比.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）写出直线的方程，由点O到直线的距离可得，为等腰直角三角可得，结合即可得到椭圆标准方程.
（2）写出经过右焦点，倾斜角为45°的直线方程并与椭圆方程联立，可得和，从而得到所求长度之比.
【详解】（1）由题意可知：直线的方程为，即，
点O到直线的距离为，则，
因为为等腰直角三角形，所以，可得，
又，可解得，，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）倾斜角为45°的直线经过椭圆C的右焦点，则直线方程为，
联立，得，所以或，
所以.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分析能力和计算能力，属于基础题.
19. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，




76
83
812
526

【答案】（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
【解析】
【分析】
（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.
（2）名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.
【详解】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，
18名男同学中应抽取的人数为名，
故不同的样本的个数为.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴的取值为0，1，2，3.
∴，，
，.
∴的分布列为

0
1
2
3





∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.
可预测该同学的物理成绩为96分.
【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
20. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）设，可求出的解为，从而可知当时，成立，即可证明函数在区间内必有局部对称点；
（2）由题意知在R上有解，令，则在上有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在上根的个数，得到关于的不等式，从而可求出实数m的取值范围.
【详解】证明：（1）设，则，令，则，
解得，即当时，，即成立，
即函数在区间内必有局部对称点
解：（2），则在R上有解.
即在R上有解，
于是（*）在R上有解.
令，则，所以方程（*）变为，
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，所以函数在上单调递减；
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，所以函数在上单调递增；
故，从而已知即在上有解.
设（），分为两种情况：
①当方程有在唯一解时：
则或，
解得，；解得，，
则；
②当方程在有两个解时：.
综上得.
【点睛】本题考查了换元法的应用，考查了由二次函数零点的分布求参数的取值范围.在第二问中，通过换元将函数在R上有局部对称点问题，转化为在上有解.已知二次函数的零点求参数的取值范围时，常依据与0的大小关系，对称轴、区间端点的函数值列关于参数的不等式.
21.
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．
（Ⅱ） [，0]．
【解析】
【分析】
【详解】，令，当时，的情况如下：














+

0



0

+









0




所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：
















0

+

0







0








所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．
（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是[，0]．

22. 设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，令，由，可知：可得存在唯一解．可得是函数的唯一极值点．令，可得时，．．．可得函数在，上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．即可证明结论．
（2）由题意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取对数即可证明．
【详解】证明：（1）因为，定义域为
所以；
令，由，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为，.
则，当时，，
所以在内单调递增；
当时，，
所以函数在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点
（2）由题意，，即，
从而，即，
因为当时，，又，故.
两边取对数，得
于是，整理得.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．