2022届高三旧高考数学(文)开学摸底测试卷2含答案
展开1.复数满足,则
A.B.C.D.
2.已知集合,集合,则
A.B.C.,1,2,D.,2,
3.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是
A.B.C.D.
4.设函数,则下列函数中为奇函数的是
A.B.C.D.
5.矩形ABCD中,,,点为CD中点,沿AE把折起,点到达点,使得平面平面ABCE,则异面直线AB与PC所成角的余弦值为
A.B.C.D.
6.在一次53.5公里的自行车个人赛中,25名参赛选手的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,现将参赛选手按成绩由好到差编为号,再用系统抽样方法从中选取5人,已知选手甲的成绩为85分钟,若甲被选取,则被选取的5名选手的成绩的平均数为
A.93.6B.94.6C.95.6D.97
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则
A.B.C.D.
8.若,,,则,,的大小关系正确的是
A.B.C.D.
9.如图,已知四边形ABCD为正方形,扇形GEF的弧EF与BC相切,点为AD的中点,在正方形ABCD中随机取一点,则该点落在扇形GEF内部的概率为
A.B.C.D.
10.在中,角,,的对边分别为,,,,角的平分线交对边AB于,且CD将三角形的面积分成3:4两部分,则
A.B.C.D.
11.设是椭圆上的一个动点,定点,则的最大值是
A.B.1C.3D.9
12.已知函数.记零点个数为,极大值点个数为,若,则
A.B.C.D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线在点处的切线的倾斜角为 .
14.已知双曲线的一条渐近线为,则的焦距为 .
15.已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值是 .
16.在平行四边形中,,,将此平行四边形沿对角线折叠,使平面平面,则三棱锥外接球的体积是 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
17.已知数列满足,.
(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.4月23日是世界读书日,其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作,某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况,从全市随机抽取1000名中学生进行调查,统计他们每日课外阅读的时长,如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值,并估计1000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值);
(2)若采用分层抽样的方法,从样本在,,内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况,再从中选取2人进行跟踪分析,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
19.如图,在四棱锥B﹣ACDE中,正方形ACDE所在的平面与正三角形ABC所在的平面垂直,点M,N分别为BC,AE的中点,点F在棱CD上.
(1)证明:MN∥平面BDE;
(2)若AB=2,点M到AF的距离为,求CF的长.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作动直线与椭圆交于,两点,过点作直线的垂线垂足为,求证:直线过定点.
21.已知为函数的极值点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求实数的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程;
(2)设射线与直线交于点,点在曲线上,且,求.
23.已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)设,且当时,,求的取值范围.
2022届旧高考数学(文)开学摸底测试卷2
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数满足,则
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为,
所以,
故.
故选B.
2.已知集合,集合,则
A.B.C.,1,2,D.,2,
【答案】D
【解析】集合,
集合,
,2,,
故选D.
3.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】对于命题,,
当时,,故命题为真命题,为假命题;
对于命题,,
因为,又函数为单调递增函数,故,
故命题为真命题,为假命题,
所以为真命题,为假命题,为假命题,为假命题,
故选A.
4.设函数,则下列函数中为奇函数的是
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为,
所以函数的对称中心为,
所以将函数向右平移一个单位,向上平移一个单位,
得到函数,该函数的对称中心为,
故函数为奇函数.
故选B.
5.矩形ABCD中,,,点为CD中点,沿AE把折起,点到达点,使得平面平面ABCE,则异面直线AB与PC所成角的余弦值为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如右图,因为,异面直线与所成角就是或其补角,
在中,,,
在左图中作,垂足为,则,,
所以,
所以.
故选D.
6.在一次53.5公里的自行车个人赛中,25名参赛选手的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,现将参赛选手按成绩由好到差编为号,再用系统抽样方法从中选取5人,已知选手甲的成绩为85分钟,若甲被选取,则被选取的5名选手的成绩的平均数为
A.93.6B.94.6C.95.6D.97
【答案】B
【解析】结合系统抽样法知间隔5人抽取一次,甲为85分,故其他人的成绩分别是88,94,99,107,
故平均数为,
故选B.
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,
再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,
把函数的图像,向左平移个单位长度,
得到的图像;
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,
可得的图像.
故选B.
8.若,,,则,,的大小关系正确的是
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,即,
,即,
,
故选B.
9.如图,已知四边形ABCD为正方形,扇形GEF的弧EF与BC相切,点为AD的中点,在正方形ABCD中随机取一点,则该点落在扇形GEF内部的概率为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】不妨设正方形的边长为2,则扇形的半径为2,
,
同理,
,
,而正方形的面积,
在正方形中随机取一点,则该点落在扇形内部的概率.
故选A.
10.在中,角,,的对边分别为,,,,角的平分线交对边AB于,且CD将三角形的面积分成3:4两部分,则
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为为的平分线,由角平分线的性质定理可得,
而,
可得,
在中,由正弦定理可得,
又,可得,
所以,可得,
故选C.
11.设是椭圆上的一个动点,定点,则的最大值是
A.B.1C.3D.9
【答案】D
【解析】根据题意,是椭圆即上的一个动点,则,且,
而定点,则,
函数是开口向上的二次函数,其对称轴为,
当时,取得最大值,且其最大值为9,
故选D.
12.已知函数.记零点个数为,极大值点个数为,若,则
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】取,,,则,其图象如下,
由图易知,,符合题意,故排除选项,;
取,,,则,
则,
易知函数在,单调递增,
在,单调递减,其图象如下,
由图象易知,,符合题意,故排除选项;
故选B.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线在点处的切线的倾斜角为 .
【答案】
【解析】点满足曲线的方程,
点为切点.
,
当时,
曲线在点处的切线的斜率为1,倾斜角为
故答案为.
14.已知双曲线的一条渐近线为,则的焦距为 .
【答案】4
【解析】根据题意,双曲线的一条渐近线为,
则有,解可得,
则双曲线的方程为,则,
其焦距;
故答案为:4.
15.已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值是 .
【答案】
【解析】向量与的夹角为,且,,
.
若,且,则,
则实数,
故答案为:.
16.在平行四边形中,,,将此平行四边形沿对角线折叠,使平面平面,则三棱锥外接球的体积是 .
【答案】
【解析】解:如图,
平面平面,平面平面,,平面,
平面,
平面,
,
同理可证,
在中,,所以,
取中点为,连接,,
由直角三角形的性质可知,,,
又,即到,,,四点的距离相等,
为三棱锥外接球的球心,
,
球的体积,
故答案为:.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
17.已知数列满足,.
(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)证明:因为,所以,
又,故数列为首项为1,公比为的等比数列.
所以,故.
(2)因为①,
②,
①、②式错位相减得:
化简整理得.
18.4月23日是世界读书日,其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作,某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况,从全市随机抽取1000名中学生进行调查,统计他们每日课外阅读的时长,如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值,并估计1000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值);
(2)若采用分层抽样的方法,从样本在,,内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况,再从中选取2人进行跟踪分析,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
【答案】(1)58;(2).
【解析】(1)由频率分布直方图可得,,即,
这1000名学生每日的平均阅读时间分钟.
(2)由频率分布直方图,可知样本在,,内的学生频率分布为0.3,0.2,
样本在,,采用分层抽样的比例为,
,抽取了3人,,,,抽取了2人,,
则再从5人中抽取2人共有,,,,,,,,,种不同的抽取方法,
抽取的2人来自不同组共有,,,,,种,
抽取的2人来自不同组的概率.
19.如图,在四棱锥B﹣ACDE中,正方形ACDE所在的平面与正三角形ABC所在的平面垂直,点M,N分别为BC,AE的中点,点F在棱CD上.
(1)证明:MN∥平面BDE;
(2)若AB=2,点M到AF的距离为,求CF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)1.
【解析】(1)证明:取BD的中点G,连接EG,MG,
∵M为棱BC的中点,
∴MG∥CD,且MG=CD.
又N为棱AE的中点,四边形ACDE为正方形,
∴EN∥CD,且EN=CD.
从而EN∥MG,且EN=MG,于是四边形EGMN为平行四边形,
则MN∥EG.
∵MN⊄平面BDE,EG⊂平面BDE,
∴MN∥平面BDE.
(2)解:过M作MI⊥AC于I,
∵平面ACDE⊥平面ABC,∴MI⊥平面ACDE,
过I作IK⊥AF于K,连接MK,则MK⊥AF.
∵AB=2,∴MI=2,∴MK,
∴IK,过C作CH⊥AF于H,易知,则CH,
∵CH,
∴CF=1.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作动直线与椭圆交于,两点,过点作直线的垂线垂足为,求证:直线过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1),,点为椭圆上一点,
由椭圆定义可得,
,
,
,
椭圆方程为.
(2)证明:设直线的方程为,,,,,,
联立直线与椭圆方程,可得,
运用韦达定理,可得①,②,
,
直线的方程为,即③,
又,
④,
将①、②式代入④式化简得⑤,
⑤代入③化简得直线的方程为,
故直线过定,即得证.
21.已知为函数的极值点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ),,解得,
经检验,在递减,在递增,为的极小值点,符合题意,因此,.
(Ⅱ),,
设,其中,,,,
在递增,.
(1)当时,即,,在递增,符合题意,所以;
(2)当时,即,,,
在上,,在递减,
所以时,不符合题意;
综上,实数的取值范围为.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程;
(2)设射线与直线交于点,点在曲线上,且,求.
【答案】(1);.(2)2.
【解析】(1)曲线的普通方程,将,代入,
整理得,即为曲线的极坐标方程.
对于直线,,将,代入,
整理得,即为直线的直角坐标方程.
(2)把代入直线的极坐标方程得,
射线的极坐标方程为,即.
把代入曲线的极坐标方程,得,
,为等边三角形,
.
23.已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)设,且当时,,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)函数,,
当时,不等式,即,
设,
当时,,解得,
当时,,解得,
当时,,解得,
综上所述,的解集为.
(2)设,且当时,,,
,即,
,对内恒成立,
,
,解得,
的取值范围为.
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