2022届高三旧高考数学（文）开学摸底测试卷3含答案

这是一份2022届高三旧高考数学（文）开学摸底测试卷3含答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则
A．，3，B．，2，3，C．D．
2．设复数满足，则
A．B．C．1D．
3．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为
A．650B．660C．680D．700
4．某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是 ，，
A．2040年B．2045年C．2030年D．2050年
5．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的焦距为
A．4B．6C．D．8
6．三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则三棱锥的左视图为
A．B．
C．D．
7．设，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
8．一艘海警船从港口出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达处，这时候接到从处发出的一求救信号，已知在的北偏东，港口的东偏南处，那么，两点的距离是 海里
A．B．C．20D．
9．
A．2B．C．1D．
10．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为
A．B．C．D．
11．已知三棱锥满足：，是边长为2的等边三角形．其外接球的球心满足：，则该三棱锥的体积为
A．B．C．D．1
12．已知为奇函数，且，当，1]时，，则
A．B．2C．D．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设函数．若的图象关于原点对称，则曲线在点处的切线方程为 ．
14．已知向量，，．若，则 ．
15．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为 ．
16．设函数，若，，则的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
18．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达的华人受访者担心接种疫苗后会有副作用．为了了解接种某种疫苗后是否会引起疲乏症状，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如表：
（1）求列联表中的数据，，，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关；
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：，．
19．如图，在三棱柱中，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的体积．
20．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．
21．已知是自然对数的底数，函数，其中．
（1）当时，若，求的单调区间；
（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，动点满足．
（1）求动点的轨迹的参数方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与异于极点的交点为，与异于极点的交点为，求．
23．已知关于的不等式的解集为．
（1）求的最大值；
（2）若，，都是正实数，且，求证：．
2022届旧高考数学（文）开学摸底测试卷3（答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A．，3，B．，2，3，C．D．
【答案】B
【解析】集合，2，3，4，5，6，7，8，，
，
，2，3，．
故选B．
2．设复数满足，则
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故．
故选B．
3．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为
A．650B．660C．680D．700
【答案】A
【解析】由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在，分的频率为，
所以学生初赛成绩大于90分的频率为，
则该校获得复赛资格的人数为．
故选A．
4．某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是 ，，
A．2040年B．2045年C．2030年D．2050年
【答案】A
【解析】令，
则，两边取对数得，
即，
过去20年或21年，表示2020年的人口数量，
则鹅城人口数量达到320000的年份大约是2040年或2041年．
故选A．
5．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的焦距为
A．4B．6C．D．8
【答案】B
【解析】直线与双曲线的一条渐近线平行，
不妨设直线与渐近线平行，
由可知，过点，
两条平行线间的距离为，
，解得，
，双曲线的焦距为6．
故选B．
6．三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则三棱锥的左视图为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，
则观察可知其左视图为．
故选A．
7．设，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，解得，
，，
是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，
，等号不能同时成立，
解得，
则实数的取值范围，．
故选A．
8．一艘海警船从港口出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达处，这时候接到从处发出的一求救信号，已知在的北偏东，港口的东偏南处，那么，两点的距离是 海里
A．B．C．20D．
【答案】B
【解析】如图所示，
由题意知，，，，
所以；
在中，由正弦定理可得；
所以、两点的距离是海里．
故选B．
9．
A．2B．C．1D．
【答案】C
【解析】．
故选C．
10．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为，
四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为，
所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为．
故选B．
11．已知三棱锥满足：，是边长为2的等边三角形．其外接球的球心满足：，则该三棱锥的体积为
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】因为，是边长为2的等边三角形，
所以过点作面于点，是的外心，
因为，所以是的外心，
则与重合，
在中，，，，
所以，
所以，
则该三棱锥的体积为．
故选C．
12．已知为奇函数，且，当，1]时，，则
A．B．2C．D．9
【答案】A
【解析】因为为奇函数，
所以的图像关于对称，即，
因为，
所以函数的图像关于对称，，
，即，
故函数的周期，
因为当，时，，
则（1）．
故选A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设函数．若的图象关于原点对称，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题函数．的图象关于原点对称，
知为奇函数，可得，．，
（1）．所以切线方程为．
故答案为：．
14．已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【解析】因为向量，，，
由，则，
解得．
故答案为：．
15．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】设，则，，
，．
，
在中，由余弦定理得，，
，
化简可得，而，故，
，，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
椭圆的离心率，
故答案为：．
16．设函数，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数
，其中，，
因为，，
所以为函数的最值，
则有，
故，
所以，
故，
所以，，
故，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）数列满足，．整理得，
故（常数），
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．
（2）由于数列是以1为首项，为公差的等差数列．
所以，故
所以，
则：．
18．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达的华人受访者担心接种疫苗后会有副作用．为了了解接种某种疫苗后是否会引起疲乏症状，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如表：
（1）求列联表中的数据，，，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关；
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：，．
【答案】（1）有；（2）.
【解析】（1）由题意得，，，，，
所以，
故有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，
其中有疲乏症状的有人，记为，；无疲乏症状的有人，记为，，，，
则从这6人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
这2人中恰有1人有疲乏症状的情况有，，，，，，，，共8种．
故所求概率．
19．如图，在三棱柱中，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：取的中点，连接，，
，，
，，
，，，
，即，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面，
平面平面，
平面平面．
（2）解：由（1）知，平面，
三棱柱的高为，
而，
，
，
四棱锥的体积．
20．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，
则有，解得，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由条件得直线的斜率必存在，
设方程为，又，设，，，，
则由，解得，
所以，
因为，
则有，，，
所以，
同理可得，
所以，
即是定值．
21．已知是自然对数的底数，函数，其中．
（1）当时，若，求的单调区间；
（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【解析】（1）当时，
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
（1）．在上单调递增．
（2），的零点，
令，可得，
设，
，
令，得，且，
当时，，单调递增且，；
当时，，单调递减且；
当时，，单调递增且，
作图的大致图象，如图所示，
由图象可知，当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，
的取值范围是．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，动点满足．
（1）求动点的轨迹的参数方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与异于极点的交点为，与异于极点的交点为，求．
【答案】（1）为参数）；（2）2.
【解析】（1）设，，，由，得①，
又的上，为参数），②
将②代入①得为参数），即为的参数方程．
（2）解法一：的参数方程化为普通方程为，
对应的极坐标方程为，的参数方程化为普通方程为，
对应的极坐标方程为，
当时，，
．
解法二：的参数方程化为普通方程为，的参数方程化为普通方程为，
又射线化为普通方程为，
联立与射线方程解得点直角坐标为，
联立与射线方程解得点直角坐标为．
．
23．已知关于的不等式的解集为．
（1）求的最大值；
（2）若，，都是正实数，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：当时，不等式恒成立，解集为，满足题意；
当时，
①时，，
由不等式的解集为，可得，
解得：；
②时，不等式，即为，解得或，不满足题意；
③时，，
由不等式的解集为，可得，
解得：，与矛盾；
综上所述，，的最大值为．
（2）证明：，，，
由柯西不等式得：
，
整理得，当且仅当，即，，时取等号．
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
25
接种疫苗
75
总计
150
200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
25
接种疫苗
75
总计
150
200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635