2022届高三旧高考数学（文）开学摸底测试卷4含答案

这是一份2022届高三旧高考数学（文）开学摸底测试卷4含答案，共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数满足，在复平面内对应点为，则不可能为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（ ）
A. B. C. D.
4.中，点在边上，平分，若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数图像大致为（ ）.
A. B.
C. D.
6.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A. 0.110B. 0.112C. D.
7.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）
A. B. 8C. D. 4
9.已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图像，可将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
10.设，则，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（ ）
A. B. 4C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.设，满足条件，则的最大值为__________.
14.若，，则__________.
15.在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______.
16.已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量（单位：万辆）数据如下表所示：
（1）某企业响应国家号召，购买了6辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的4辆，五月份生产的2辆，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门使用，其中A部门用车4辆，B部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；
（2）经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设关于的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂10月份的销售量.
18.已知数列满足,，数列满足.
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
19.如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.
(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；
(2)求该组合体QPABCD的体积．
20.如图，已知椭圆右焦点为，，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线经过，交椭圆于点，，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，，，求证：直线与直线的交点在定直线上.
21.已知函数
（Ⅰ）求函数图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的，，均有成立，求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.[选修4-4：极坐标与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时值
23.已知函数（），不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若，，，且，求的最大值.
2022届旧高考数学（文）开学摸底测试卷4
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意，设，由，得，再一一验证.
【详解】设，
因为，
所以，
经验证不满足，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合，与集合取并集即得
【详解】解不等式，得，
又，
.
故选：.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
3.记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.
【详解】因为，，
所以解得，
所以，
所以，，，
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.
4.中，点在边上，平分，若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案.
【详解】平分，根据三角形内角平分线定理可得，
又，，，，
.
.
故选：.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.
5.函数的图像大致为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题采用排除法:
由排除选项D；
根据特殊值排除选项C;
由,且无限接近于0时, 排除选项B；
【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数 ,
则,;
即.故选项D排除;
对于选项C：因为,故选项C排除;
对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;
故选项:A
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
6.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A. 0.110B. 0.112C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知，代入公式,求出即可.
【详解】由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
7.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数,利用函数的奇偶性和单调性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】设，
则函数是偶函数，当时，为增函数，
若，即
可得，
平方得，即，
由，
可得，
即，且，
所以，
则成立，即充分性成立，
当时，满足，且，
但，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，属于中档题.
8.已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）
A. B. 8C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．
【详解】F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．
由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，
∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
9.已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图像，可将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，再根据三角函数的平移规则计算可得；
【详解】解：由已知得，是的一条对称轴，且使取得最值，则，，，，
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.
10.设，则，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案.
【详解】，
，
.
，显然.
,即，
，即.
综上，.
故选：.
【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.
11.已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：求出两点的横坐标，作差后用导数可求得最小值．
详解：由得，由得，其中，
设，，在时，由得，且当时，，当时，，∴
时，取极小值也是最小值．
故选D．
点睛：本题考查用导数求最值，解题时，需把两点的横坐标用表示出来，然后求出，再由导数求最小值．本题难度一般，应该是导数应用的基础题．
12.如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】解：设，则．
，，，，
，同理，
其中，
，当时，，．
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.设，满足条件，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域，由得，平移直线，数形结合可求的最大值.
【详解】作出可行域如图所示
由得，则是直线在轴上的截距.
平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最大.
解方程组，得，.
.
故答案为：.
【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.
14.若，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，求出，再根据诱导公式化简即得.
【详解】，， ,
.
.
故答案为：.
【点睛】本题考查两角和的正切公式、诱导公式，属于基础题.
15.在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
推导出，分别取、的中点、，连结、、，则，，，推导出，从而平面，进而四面体的体积为，由此能求出结果．
【详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，
，，，
，，
分别取、的中点、，连结、、，
则，，，
且，，，
，，
，平面，平面，平面，
四面体的体积为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
16.已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设.在中，根据余弦定理可得.根据双曲线的定义可得.在中，余弦定理可求离心率.
【详解】设.
在中，根据余弦定理，
即.
由双曲线的定义可得，
即，又，
可得.
在中，由余弦定理，
即，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量（单位：万辆）数据如下表所示：
（1）某企业响应国家号召，购买了6辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的4辆，五月份生产的2辆，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门使用，其中A部门用车4辆，B部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；
（2）经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设关于的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂10月份的销售量.
【答案】（1）（2）；该厂10月份销售量估计为1.151万辆.
【解析】
【分析】
设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为，，，；5月份生产的2辆车为，，列出部门2辆车所有可能的情况和至多有1辆车是四月份生产的所包含的情况，代入古典概型概率计算公式求解即可.
求出，由线性回归方程过样本中心点代入线性回归方程即可求出，然后把代入回归方程求解即可.
【详解】（1）设某企业购买6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为，，，；5月份生产的2辆车为，，6辆汽车随机地分配给两个部门.
部门2辆车可能（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，，（，），（，）共15种情况；
其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）共9种，
所以该企业部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为.
（2）由题意得，.
因为线性回归方程过样本中心点，所以，解得.
当时，，
即该厂10月份销售量估计为1.151万辆.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用和线性回归方程经过样本中心点、利用回归方程求估计值;重点考查学生的运算能力；属于中档题.
18.已知数列满足,，数列满足.
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列
（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.
【详解】解：（Ⅰ）当时，，故.
当时，，
则 ，
，
数列是首项为，公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，
，
.
【点睛】（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法 得出
（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
19.如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.
(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；
(2)求该组合体QPABCD的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
(1)证明：因为QD⊥平面ABCD，PA∥QD，所以PA⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为AB⊥BC，且AB∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.
(2)平面QDB将几何体分成四棱锥B－PADQ和三棱锥Q－BDC两部分，
过B作BO⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，
所以PA⊥BO，又AD⊥OB，PA∩AD＝A，
所以BO⊥平面PADQ，即BO为四棱锥B－APQD的高，
因为BO＝，S四边形PADQ＝3，
所以VB－PADQ＝·BO·S四边形PADQ＝，
因为QD⊥平面ABCD，且QD＝2，
又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝，
所以VQ－BDC＝·S△BDC·QD＝，
所以组合体QPABCD的体积为.
20.如图，已知椭圆的右焦点为，，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线经过，交椭圆于点，，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，，，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由椭圆的定义可得，周长取最大值时，线段过点，可求出，从而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线，直线，，，，.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出和，根据求出的值.最后直线与直线的方程联立，求两直线的交点即得结论.
【详解】（Ⅰ）设的周长为，
则
，当且仅当线段过点时“”成立.
，，又，，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.
设，，，，，.
将直线的方程代入椭圆方程得：.
，,
.
同理，.
由得，此时.
直线，
联立直线与直线的方程得，
即点在定直线.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.
21.已知函数
（Ⅰ）求函数图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的，，均有成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求，则即为切线的斜率，即可求出切线方程；
（Ⅱ）求，可得在上单调递增. 不妨设，且，可得函数在上单调递减，从而在上恒成立，参变量分离，可求出实数的取值范围.
【详解】（Ⅰ）由题知，,
，切线方程为，即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，当，，
在上单调递增，不妨设，且，
，，即，
.
令，则在上单调递减，
在上恒成立，
即上恒成立，令，
.
，，，，
在上单调递减，
.
，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.[选修4-4：极坐标与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值
【答案】(1) 的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为. (2)
【解析】
【分析】
(1)先得到的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将代入得，得到曲线的直角坐标方程；（2）设点、的极坐标分别为，，
将 分别代入曲线、极坐标方程得：，，，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.
【详解】（1）由得，
将代入得：
，故曲线的极坐标方程为.
由得，
将代入得，故曲线的直角坐标方程为.
（2）设点、的极坐标分别为，，
将 分别代入曲线、极坐标方程得：，，
则 ，其
中为锐角，且满足，，当时，取最大值，
此时，
【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.
23.已知函数（），不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若，，，且，求的最大值.
【答案】（1）（2）32
【解析】
【分析】
利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于的方程,求出的值即可;
由知可得,，利用三个正数的基本不等式,构造和是定值即可求出的最大值.
【详解】（1）∵，
，
所以不等式的解集为,
即为不等式的解集为，
∴的解集为,
即不等式的解集为，
化简可得,不等式的解集为，
所以,即.
（2）∵，∴.
又∵，，，
∴
，
当且仅当,等号成立,
即，，时，等号成立，
∴的最大值为32.
【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式的灵活运用;其中利用构造出和为定值即为定值是求解本题的关键;基本不等式取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;
属于中档题.
月份
3
4
5
6
7
8
9
销售量
（万辆）
3.008
2.401
2.189
2.656
1.665
1.672
1.368
月份
3
4
5
6
7
8
9
销售量
（万辆）
3.008
2.401
2.189
2.656
1.665
1.672
1.368