2020-2021学年3 勾股定理的应用精练

1.3《勾股定理的应用》习题1

一、填空题

1.我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是__________尺．    

2.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”

译文：“有一根竹子，原高二丈(1丈=10尺)，现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”

如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_____________．

3.如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是_____m．

4.为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为_____cm．

二、选择题

1．如图，已知正方形A的面积为25，正方形C的面积为169，那么正方形B的面积是(   )

A．144 B．169 C．25 D．194

2．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动(　　)

A．0m    B．1m    C．2m    D．3m

3．一个长方形抽屉长16厘米，宽12厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长(不计木棒粗细)可以是(    )

A．20厘米 B．18厘米 C．22厘米 D．24厘米

4．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米

5．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现绳子刚好拉直并且下端刚好接触地面，则旗杆的高为(    )

A．10 B．11 C．12 D．13

6．如图，一扇高为，宽为的门框，童师傅有块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽；②号木板长，宽；③号木板长，宽．不能从 这扇门通过的木板是(    )号．

A．① B．② C．③ D．①②③

7．如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是(    )

A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm

8．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部(    )处．

A．5m B．7m C．7.5m D．8m

9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(   )

A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米

10．小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为(      )

A．2.7 米 B．2.5 米 C．2.1 米 D．1.5 米

11．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动(人的高度忽略不计)(      )

A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米

12．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距(　　)

A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里

13．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用(　　)

A．3m B．5m C．7m D．9m

14．如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　)

A．12 cm   B．11 cm   C．10 cm   D．9 cm

三、解答题

1.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处(车尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．

3.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

4.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．

5.如图，将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图所示，

(1)求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．彩旗完全展平时的尺寸如图的长方形(单位：cm)

(2)商店彩旗的标价为每面40元，旗杆的标价为每根20元，学校计划购买彩旗60面，旗杆50根，由于数量较多商店决定给予学校优惠，其中彩旗每面优惠10%，旗杆每根优惠a%，这样，学校彩旗又多购买了2a%，旗杆的数量不变，这样总共花费3542元，求a的值．

6.如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另-停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且

求修建的公路的长；

若公路修通后，辆货车从处经过点到处的路程是多少?

7.方格中单位长度为1的小正方形的顶点叫格点，点和点是格点，位置如图：

(1)线段的长是______________；

(2)在图1中确定格点，使为直角三角形，画出一个这样的；

(3)在图2中确定格点，使为等腰三角形，画出一个这样的；

(4)在图2中满足题(3)条件的格点共有___________个．

8.如图，海上救援船要从距离海岸8海里的点位置到海岸的处携带救援设备，然后到距离海岸16海里处的点处对故障船实施救援．已知间的距离为18海里，为使救援船尽快赶到故障船实施救援，救援设备被放置在恰当位置．

(1)试在图中确定点的位置；

(2)若救援船的速度是20节(1节=1海里/小时)，求这艘救援船最快多长时间到达故障船？

答案

一、填空题

1.4.55

2.．

3.13

4.180

二、选择题

1．A．2．B.3．A．4．B．5．C．6．B 7．C 8．D 9．A

10．C． 11．B． 12．C． 13．A．14．C.

三、解答题

1.由题意，AB=15，AC=DE=9，CD=AE=2，BD⊥AC，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：

，

∴BD=BC+CD=14(米)，

答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．

2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=．

由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，

∴BE=AB-AE=10-6=4．

在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2=BD2，即CD2＋42=(8-CD)2，

解得CD=3．

在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2=AD2，

∴AD=．

3.解：设AE＝xkm，

∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，

由勾股定理，得152+x2＝102+(25﹣x)2，x＝10．

故：E点应建在距A站10千米处．

4.解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，

由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，

故BD＝＝5(m)，

即AD＝9m，

则

故AC+AB＝15+4＝19(m)，

答：树原来的高度19米．

5.(1)由题意可得，彩旗面是矩形，长为200cm，宽为150cm，

则彩旗的对角线长为250cm，

故h＝320−250＝70，

即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是70cm；

(2)由题意可得，

40×(1−10%)×60(1＋2a%)＋20×(1−a%)×50＝3542，

解得，a＝10，

即a的值是10．

6.解：(1)根据题意，AC=15，BC=20，AB=25，

∴，

∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，

∴，

∴，

∴(km)；

(2)在Rt△BCD中，由勾股定理得：

，

∴货车从处经过点到处的路程是：

(km).

7.解：(1)由图可知，点A，B的横向距离差为4，纵向距离差为3，由勾股定理可知；

AB=；

(2)(3)如图所示：

(4)在图2中满足题(2)条件的格点D有4个．如图所示

8.解：(1)

延长AB至E，使BE=AB，连接EC交BD于M，连接AM，则点M即为所求.

(2)依题意有AB=8，CD=16，BD=18，

根据(1)的作图可知，点A，E关于直线BD对称，

∴AB=BE=8，AM=EM，

过点E作EFBD，交CD的延长线与F，

∵四边形BEFD为矩形，

∴EF=BD=18，AB=BE=DF=8，

∴CF=CD+DF=16+8=24，

在ECF中，，

 ∴AM+MC=EM+MC=EC=30，

又∵救援船的速度是20节，即为20×1=20(海里/小时)，

∵(小时).

∴这艘救援船最快到达故障船的时间为1.5小时.