苏科版八年级上册6.5 一次函数与二元一次方程教案设计

 一次函数与二元一次方程

教学目标：1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.

2.通过学生的思考和操作，了解方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组图象解法，同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.

教学重点：二元一次方程和一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，即方程和函数之间的对应关系.

教学难点：用函数观点分析实际问题，解决实际问题.

学情分析：学生已有了解二元一次方程（组）的基本能力和一次函数及其图象的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程（组）和一次函数之间的内在联系，体会“数”和“形”间的相互转化，从中使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决，“形”的问题也可以通过“数”来解决．

教学过程：

一．探索活动

活动1.二元一次方程2x－y－3=0可以写成一次函数y=2x－3的形式；反过来，一次函数y=2x－3可以写成二元一次方程2x－y－3=0的形式。从形式上看，你知道是通过什么方法变形得到的？

从形式上看，通过移项，二元一次方程可以化为一次函数的形式，一次函数可以 化成二元一次方程的形式。

活动2.问题：⑴方程2x-y-3=0的解有多少个？你能写几个出来吗？

⑵在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=2x-3的图象上吗？

⑶在一次函数y=2x-3的图象上任取一点，它的坐标适合方程2x-y-3=0吗？

⑷方程2x-y-3=0的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=2x-3的图象相同吗？

⑸二元一次方程2x-y-3=0的解与一次函数y=2x-3图象上的点有什么关系？

一般地,一次函数y=kx＋b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b=0 的一个解;以二元一次方程kx－y＋b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx＋b的图象上.

活动3. 一次函数y=2x－3和 y = - x + 3的图象,与相应的二元一次方程组                         的解有关系吗? 

一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的

二元一次方程组的解。

二．例题

例1.利用一次函数的图象解二元一次方程组

总结：用作图法来解方程组的步骤：

(1)转化形式：把二元一次方程化成一次函数的形式；

(2)画函数图象：在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点确定坐标；

(3)写出方程组的解：交点坐标就是方程组的解.

例2.画出函数的图象，并根据图象回答：

（1）当x取什么值时，函数值等于零？

（2）当x取什么值时，函数值大于零？　　　

（3）再画出函数的图象，并解方程组

例3.一次函数和  的图象之间有何关系？

一次函数和的图象之间有何关系？

那么方程组有        解；方程组有        解；

你能从中“悟”出些什么吗？

三、归纳：二元一次方程组        解<===>一次函数的图像         （无交点）

二元一次方程组有       解<===>一次函数的图像          （有一个交点）

二元一次方程组有         解<===>一次函数的图像        （有无数个交点）

例4.我在中国电信公司营业大厅办理上网业务，发现有两种上网收费方式：

   方式A：以每分0.1元的价格按上网时间计费;

   方式B：除收月租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.

   我该如何选择收费方式才能自己更合算?

课堂练习：

1.若方程 x – y = 1 有一个解是  ，则一次函数 y = x – 1

的图象上必有一个点的坐标为              .

2.一次函数 y = 2x – 4 的图象上有一个点的坐标为 （3,2），

则方程 2x – y = 4 必有一个解是             .

3.已知直线y=2x与y=－x＋3，

求：⑴这两条直线的交点．

⑵这两条直线与y轴围成的三角形面积．

课后练习：                            班级       学号        姓名           

1.把二元一次方程写成一次函数y ＝          ；把一次函数写成二元一次方程为              .

2.若一次函数y=－x－2与y=2x－7的图象交点为（2，－3），则二元一次方程组的解为              ．

3．因为的解是，所以一次函数y=－x＋4与y=2x＋1的图象交点坐标为                       ．

4．直线y=3x－2和y=－2x＋3图象的交点是                 ．

5. 两直线和的图象位置关系为_______，由此可知：方程组的解的情况为__________.

6.已知一次函数和的图像交于点A（－2,0），与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积为           .

7.（1）已知函数y＝kx＋1与y＝－0.5x＋b的图像交于点（2,5），求k、b的值.

（2）利用图解二元一次方程组

8. 已知直线：和直线：，

求两条直线和 的交点坐标，并判断该交点落在平面

直角坐标系的哪一个象限上？

9. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是                ，从点燃到燃尽所用的时间分别是             .

（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；

（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？

10.已知直线经过原点和点（－2,－4），直线经过点（1，5）和点（8,－2），求：

（1）y和y的函数关系式，并在同一坐标系中画出函数图像；

（2） 若两直线交于点M，求M的坐标；

（3） 若直线y与x轴交于点N，试求三角形MON的面积.