数学八年级上册3.1 勾股定理教案设计

3.1 勾股定理

一、教材分析：

1、本课的地位与作用：

勾股定理是反映自然界规律的一条重要结论，它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。它历史悠久，在数学的发展中起着重要的作用，现实中有广泛的应用。勾股定理的发现、验证及应用蕴涵着丰富的文化价值。

它从边的角度进一步对直角三角形的特征进行了刻画。本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（苏科版2012年新版）八年级上册3.1“勾股定理”的第一课时．在此之前，学生已经学习了有关三角形的一些知识，如三角形的三边不等关系，三角形全等的性质与判定、直角三角形的斜边中线性质、等腰三角形的性质与判定等，初步感受到了公理化的思想。在七年级下学期，学生也学过利用图形面积来探求数式运算规律的例子，如探求单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则、乘法公式等，初步感受了数形结合的数学思想。勾股定理是几何中极其重要的定理，在后续的数学学习中起着关键的作用。

本节课是在学生原有的认知水平基础上，进一步探求直角三角形的又一个重要性质——勾股定理，研究三边之间二维的等量关系。通过探究活动的开展，让学生自主构建知识链，数学思维能力得以充分的发展。探求勾股定理的过程蕴涵了丰富的数学思想：把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范；把探求三边的关系转化为探求面积的关系，将边不在格线上的图形转化为可计算的格点图形，是转化思想的体现；先探求特殊的直角三角形的三边关系，再猜测一般直角三角形的三边关系，再解决一些特殊直角三角形的问题，这是“特殊 —— 一般 —— 特殊”的思想。

2、教学目标：

知识与技能：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题；

过程与方法：让学生经历观察、思考、拼图实验、计算面积的全过程，在观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中发展合情推理能力，体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力。发展学生的归纳、概括能力；养成独立思考、合作交流的学习习惯。

情感态度与价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，感受勾股定理的文化价值，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。

3、教学重点、难点、关键：

教学重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验。

教学难点：利用数形结合的方法验证勾股定理．

教学关键：通过实验主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。

二、教法学法：

1、教法设计：

通过系列数学实验，以学生为本位，让学生经历数学知识的形成过程，提供适当的问题情境，充分调动学生的学习积极性，采用探究发现式教学，给学生自主探究交流的空间，引导学生有目的地探索．并通过这个过程，充分挖掘教材的空间，为学生搭建动手实践、自主探索、合作交流的平台；使学生体验学习成功的乐趣，在积极的思维中获取知识，发展能力。

2、学法指导：为学生设计一个计算面积的数学实验平台，经历实验操作的全过程，结合多媒体课件的演示，通过观察、思考、计算发现内在的数学规律，并且尝试验证．

3、教学准备：实验用纸，文具。

三、教学过程：

1、创设情境，导入课题：

（1）展示1955年希腊的纪念邮票。

（2）展示勾股定理的动态流水图片。

思考：为什么两个水箱中的水最后可以正好装满下面的水箱？

2、自主探索，合作交流：

【实验一】看一看

把直角三角形ABC纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为1cm），分别以三边为边向外翻作正方形，观察并思考，再填空：

（1）正方形P的面积为       cm2，

正方形Q 的面积为       cm2，

正方形R的面积为       cm2。

（2）你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？

【实验二】想一想：

思考：其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？我们来继续观察第2个图形：

（1）正方形P的面积为    cm2，

正方形Q的面积为    cm2，

正方形R的面积为    cm2。

（2）正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？

（3）你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？

（4）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流。

【难点分析】如何求得R的面积？是用补的方法还是割的方法？让学生讨论、交流、展示，教师点评；

【实验三】试一试

（1）按照一下要求操作（让学生拿出实验纸操作）：
① 在方格图中，画出两条直角边分别为任意整数值的直角三角形；

② 验证刚才的结论对这个直角三角形是否成立？

③ 再用刻度尺量出斜边长，能够得到精准的数值吗？

（2）学生总结，并用符号语言、文字语言表达自己的发现。

毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）。（欧几里德《几何原本》P76）这是从面积的角度和数式的角度进行的表述。

3、验证定理，解释内涵：

（1）【实验四】拼一拼：

①给出4个全等的直角三角形纸片，拼一拼，摆一摆，看看能否得到一个以c为一边的正方形？

② 能否用你拼好的图形证明刚才的发现？请详细表达。最好出现这2个图形：

【说明】当学生拼出第一个图形后，就展示PPT，介绍赵爽弦图和ICM2002标志（第24届国际数学家大会(ICM2002)在北京召开）。出现第2个图形，就展示总统证法的图形。

③ 学生自主选择证明其中的一个，然后展示过程，一写一说。

【说明】第一种是《周髀算经》的证法，第2个是总统证法（美国第16任总统加菲尔德）。

（2）归纳：

勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

几何语言：∵在△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。

（3）解释定理的应用：

① 已知直角三角形的两边可以求第三边；

  a2+b2=c2 ，   a2 =c2 －b2 ，b2=c2 －a2

② 可以计算以一条边为边的正方形的面积；

【实验五】欣赏与思考

（1）介绍勾股数和勾股树（几何画板）

在演示中提问：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是       cm2．

（2）勾股定理文化介绍：

a、勾股定理（公元前4000多年前）

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。

b、商高定理（公元前1120年）

我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。

c、陈子定理（公元前700年）

荣方和陈子之问答，讨论用勾股定理来测量太阳的高度，推广到一般的直角三角形。

d、毕达哥拉斯定理（Pythagoras定理，公元前600年前后）

两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理和百牛定理．为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。

e、勾股定理是人类文明的成果，几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究．在地球以外是否存在生命这个问题上，我国数学家华罗庚曾认为，如果外星人也拥有文明的话，我们可以用“勾股定理”的图形，作为人类探寻“外星人”并与“外星人”联系的“语言”．

4、运用新知，体验成功：

例1．Rt△ABC中，∠C =90°，AB=c，AC=b，BC=a， 若b=12，c=13，求a．

变式1：若D为AB的中点，求CD的长与△CDA的面积；

变式2：若CE⊥AB于点E，求CE的长；

例2．如图，字母B所代表的正方形的面积是 (     )

A． 12      　　B．13        　C．144       　D． 194

变式：正方形B的边长等于多少？如何计算?

5．反馈练习，巩固新知：

（A）1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 (     )

    A．25  　B．14     C．7     D．7或25

（B）2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D， 若AB=5，BC=6，则AD=         cm．

（C）3．Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若BC=6，CD=5，则AC=____，△ACD的面积=__   __．

6、课堂评价，展示收获：

（1）学生交流本课收获；

（2）表扬和收集画得好的图形；

7、布置作业，巩固训练：

（1）作业本相关作业。

（2）【实验六】剪纸证明勾股定理

若将图形中的①②③④⑤剪下，用他们可以拼成一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？试一试！