初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理教案

3.2 勾股定理的逆定理

【教学目标】1.会阐述直角三角形的判断条件（勾股定理的逆定理）.

2.会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力.

3．经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系.

【教学重点】 利用三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形这一方法进行直角三角形的判定.

【教学难点】 了解什么是勾股数，并能用它来解决一些简单的问题.

【教学准备】 1. 教师制作好与实验活动有关的课件。

             2. 学生备好实验用品：直尺、圆规、铅笔。

【教学方法】 观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】

一、创设问题情境，引导学生思考，激发学习兴趣。

古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握着绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握着第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处 。

教师指导学生演示，并提问：这个三角形的三边长分别是多少？

这个故事告诉我们，如果围成三角形的三边长分别为3、4、5，那么围成的三角形就是直角三角形。三边长3,4,5具有怎样的数量关系，才能使围成的三角形为直角三角形？

二、通过学生动手操作，观察分析，实践猜想，合作交流。人人参与活动，体验并感悟“图形”和“数量”之间的相互联系

1．画图：画出边长分别是下列各组数的三角形。（单位：厘米）

A：30、40、30；   B：3、4、5； C：3、4、6； D：6、8、10；

2．测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：

　　A：________ B：________ C：________ D：________

3．判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状。

　　A：________ B：________ C：________ D：________

4．找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。

　　A：________ B：________ C：________ D：________

5．猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？

你的猜想是:当一个三角形满足较短的两边的平方和等于最长边的平方时，这个三角形才可能是直角三角形。

6. 经探索发现：如果三角形的三边长a 、b 、c满足,那么这个三角形是直角三角形。与勾股定理“如果直角三角形的两直角边长分别a 、b，斜边长为c，那么。” 进行比较，两者的关系是___________.

四、规律总结

1、根据与勾股定理互逆的关系，我们把“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.” 称为勾股定理的逆定理。它把三角形三边的数量关系转化为三角形的形状特点，我们称之为从数到形的转化。这也是判定直角三角形的一种方法。

提问：如果三条线段a、b、c满足c2=a2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?

2、书写格式：∵a2+b2=c2

∴ΔABC为直角三角形且c为斜边，∠C=90°

五、知识运用

1. 例1 判断由线段a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形：

(1) a=10, b=8, c=6         (2) a=1, b=, c=      (3) a=13, b=14,c=15

教师板书：

总结步骤：1.确定最长边  2.计算最长边的平方是否等于较短两边平方和  3.判断是否为直角三角形

（2）（3）两题学生练习

2. 给出勾股数的概念：像3，4，5；6，8，10；5，12，13等满足a2+b2=c2的一组正整数,通常称为勾股数。

勾股数必须满足：1.为一组正整数 2.满足a2+b2=c2(c为最大数)

利用利用勾股数可以构造直角三角形。

探索：若下表中的a、b、c为勾股数.

（1）填表：

（2）从上表中你能发现什么规律？

如果一组勾股数都分别扩大相同的整数倍，那么得到的仍是一组勾股数

（3）你能根据发现的规律，写出更多的勾股数吗？试试看！

练一练1：

下列各组数是勾股数吗？能构造直角三角形吗？

(1)30，40，50   (2)12，16，20     (3)15，20，25   (4)50，120，130  (5)

总结判断是否为勾股数的方法：

①看是否为正整数，是否满足a2+b2=c2(c为最大数)

②看是否为已知勾股数的整数倍

3. 例2  已知：在△ABC中，三条边分别为a，b，c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1）.试说明∠C=90°

解：∵ n2+1>n2-1  ∴c>a

∵c-b=n2+1-2n=(n-1)2且 n>1

∴(n-1)2>0，即c>b

∴ c>b且c>a

∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1

c2=(n2+1)2=n4+2n2+1

∴ a2+b2=c2

∴ ∠C=90°

4. 例3  一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BC=12，DC=13，BD＝5，你能根据所给的数据说明这个零件是否符合要求吗？　

解：∵AD=4，AB=3，BD=5

∴AD2+AB2=BD2

∴∠A=90°

∵BD=5，BC=12，CD=13

∴BD2+BC2=CD2

∴∠DBC=90°

∴该零件符合要求       

练一练2.

（1）已知在四边形ABCD中, ∠A=90°，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，试说明BD⊥BC

 解：∵∠A=90°,AB=3,AD=4

∴BD= =5

∵CD=13，BC=12

∴BD2+BC2=CD2

∴∠DBC=90°

∴ BD⊥BC

(2) 在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=15,AC=13,AD=12,CD=5,求BC的长.

解：∵AC=13，AD=12，CD=5

∴CD2+AD2=AC2

∴∠ADC=90°

∴∠ADB=90°

∵AB=15，AD=12

∴BD= = =9

∴BC=BD+DC=9+5=14

5. 拓展延伸

已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥BC，垂足为D，

交AB于点E，且BE2-EA2=AC2,说明∠A=90°

解：连接EC

∵D是BC中点，DE⊥BC

∴ED是BC的垂直平分线

∴BE=EC

∵BE2-EA2=AC2

∴EC2-EA2=AC2

∴∠A=90°

六、教学小结

通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？