初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定优秀习题

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知识提要
三角形全等的判定：
三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写“角边角”或“ASA”）；
两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；
三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性．
垂直平分线的概念、性质：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线． 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
练习
选择题
1．（2019春•顺德区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，不能判定△ABD≌△CDB的条件是（ B ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AD∥BCD．∠A＝∠C
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，
∴当AB＝CD时，根据“SAS”可判断△ABD≌△CDB；
当∠A＝∠C时，根据“AAS”可判断△ABD≌△CDB；
当∠ADB＝∠CBD或AD∥BC时，根据“ASA”可判断△ABD≌△CDB．故选：B．
2．如图，已知AD＝BC，∠1＝∠2，则下列说法正确的是（ D ）
A．BD＝AC B．∠D＝∠C C．∠DAB＝∠CBA D．以上说法都不对
【答案】解：由AD＝BC，∠1＝∠2，AB＝BA，
无法得出△ADB与△BCA全等，
所以无法得出BD＝AC，∠D＝∠C，∠DAB＝∠CBA，故选：D．
3.（2019春•市中区期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED．若量出DE＝58米，则A，B间的距离即可求．依据是（ A ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
解：在△ABC和△DEC中，，△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE＝58米，
4.（2019春•普宁市期末）如图，已知∠B＝∠D，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC≌△ADC的是（ A ）
A.∠BAC＝∠DACB．AC＝AC
C．AB＝ADD．CB＝CD
【答案】解：A、添加∠BAC＝∠DAC，根据AAS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；
B、AC是公共边，属于已知条件，不能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加AB＝AD，根据SSA，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加CB＝CD时，根据SSA，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：A．
5．(泰州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( D )

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【解】 ∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BDO＝∠CDO＝90°.
∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE.
又∵OE＝OE，∴△AOE≌△COE(SSS)．
∵BD＝CD，∠BDO＝∠CDO，OD＝OD，∴△BOD≌△COD(SAS)．
∵AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，∴△AOC≌△AOB(SSS)．
综上所述，共有4对全等三角形．
6．（2019春•张店区期末）如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，
②∠D＝∠A，③∠C＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（ C ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】解：∵AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∵BE＝BC，利用SAS可得△ABC≌△DBE；
∵∠D＝∠A，利用ASA可得△ABC≌△DBE；
∵∠C＝∠E，利用AAS可得△ABC≌△DBE；
（2018秋•和平区期末）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC及中线AD的取值范围分别是（ ）
A．4＜BC＜20，2＜AD＜10B．4＜BC＜20，4＜AD＜20
C．2＜BC＜10，2＜AD＜10D．2＜BC＜10，4＜AD＜20
【答案】解：如图所示，在△ABC中，则AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
即12﹣8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，
延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD，
又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE∴△ACD≌△EBD（SAS），∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，
12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故选：A．
8.（2018秋•天河区期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论①△AFB≌△AEC； ②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．正确的是（ A ）
A．①②④B．①②④C．①②D．①②③④
【答案】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，
∵AF＝AE，AB＝AC，∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确，
∴BF＝EC，故②正确，
∴∠ABF＝∠ACE，∵∠BDF＝∠ADC，∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，
∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，无法判断AB＝BC，故④错误，故选：A．
9.如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分的面积S是( A )

A. 50 B. 62 C. 65 D. 68
【解】 ∵EF⊥AC，BG⊥AC，
∴∠EFA＝∠AGB＝90°，∠FEA＋∠EAF＝90°.
∵EA⊥AB，∴∠EAB＝90°，
∴∠EAF＋∠GAB＝90°，∴∠FEA＝∠GAB.
又∵AE＝BA，∴△EFA≌△AGB(AAS)，∴AF＝BG，EF＝AG.
同理，△BGC≌△CHD，∴GC＝HD，BG＝CH，
∴FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，
∴S阴影＝eq \f(1,2)×(6＋4)×16－eq \f(1,2)×3×4×2－eq \f(1,2)×6×3×2＝50.
二、填空题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝48°．

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，有下列结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，C的距离相等．其中正确的是①②③④(填序号)．

3．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是1
【解】 延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE.∵AC＋CE＞AE，且可证CE＝AB，
∴AC＋AB＞2AD，∴AD＜7.∵AB－AC＜2AD，∴AD＞1.∴1＜AD＜7.
4. 在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝315°．

【解】 由图可知，∠1所在的最大的直角三角形与∠7所在的最大的直角三角形全等，
∴∠1＋∠7＝90°.同理，∠2＋∠6＝90°，∠3＋∠5＝90°.
又∵∠4＝45°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝315°.
三、解答题
1. 如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°.求证：CD＋BE＝BC.

【解】在BC上取一点F，使BF＝BE，连结OF.
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE.
∵BE＝BF，∠EBO＝∠FBO，BO＝BO，
∴△EBO≌△FBO(SAS)，∴∠EOB＝∠FOB.
∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠OBC＋∠OCB＝120°÷2＝60°，
∴∠COB＝120°，∴∠EOB＝∠DOC＝60°，
∴∠FOB＝∠EOB＝60°，
∴∠FOC＝∠COB－∠FOB＝60°，∴∠FOC＝∠DOC.
又∵OC＝OC，∠FCO＝∠DCO，
∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴CD＝CF，
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．

【解】 CE＝eq \f(1,2)BD.理由如下：延长CE交BA的延长线于点F.
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBF.∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°.
又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF(ASA)，∴CE＝FE＝eq \f(1,2)CF.
∵∠ABD＋∠ADB＝∠ACF＋∠CDE＝90°，∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF.
又∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，
∴△BAD≌△CAF(ASA)，∴BD＝CF，
∴CE＝eq \f(1,2)CF＝eq \f(1,2)BD.
3．（2019春•牡丹区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE≌△CFE；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
【答案】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
由（1）知△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF，
∵AB＝BC+AD，∴AB＝BC+CF，
即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，，
∴△ABE≌△FBE（SSS），
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴BE⊥AE；
4． 问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；
特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为____________．

解：特例探究：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，∵
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
归纳证明：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，∵
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
拓展应用：∵△ABC的面积为15，CD=2BD，
∴△ABD的面积是：×15=5，由上题易得△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，
即等于△ABD的面积是5．