浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试精品课时练习

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知识提要
问题1 轴对称及轴对称图形
关于某直线成轴对称的两个图形是全等图形；
若两个图形关于某直线成轴对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，一对对应点到对称轴的距离相等；
(3)若两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线成轴对称．轴对称的这些性质是证明线段或角相等以及图形的全等的重要方法．
问题2 等腰三角形的性质和判定的运用
证明两条线段相等的常用方法：
(1)在同一个三角形中，利用“等角对等边”；
(2)在两个三角形中，证明它们全等；
(3)角平分线的性质；
(4)线段的垂直平分线的性质等．
(5)等腰三角形和等边三角形的性质归纳如下：
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质．
问题3 直角三角形的性质
问题4 勾股定理及其逆定理
问题5 直角三角形全等的判定
判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边对应相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边对应相等：
①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；
②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边对应相等，用“SAS”判定．
问题6 分类讨论思想
解与等腰三角形的高有关的问题时，一要分清是哪一边上的高；二要分清顶角是锐角还是钝角，然后针对各种情况画图求解．
练习
选择题
1．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美,体现在蝴蝶图案的( )

A．轴对称性 B．用字母表示数C．随机性 D．数形结合
2. 若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2cm则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
3．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )

A．AE＝EC B．AE＝BEC．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )

A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )

A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．1
6．已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )．
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
下列说法中，正确的是( )
A．每个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题
C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题
8．如图所示，直线l上摆有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为8和10，则b的面积是( )

A．24 B．20 C．18 D．16
9．如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若MN＝9，则BM＋CN等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
10．将一个斜边长为eq \r(2)的等腰直角三角形纸片[如图(1)]沿它的对称轴折叠1次后得到另一个等腰直角三角形[如图(2)]，再将图(2)的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后又得到一个等腰直角三角形[如图(3)]，则连续将图(1)的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形[如图]的斜边长为( )
A.eq \f(1,n) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(n－1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(n)
二、填空题
1．圆、长方形、平行四边形、等边三角形中，轴对称图形有________个．
2．等腰三角形的周长为16，一腰上的中线把周长分成5∶3两部分，则三角形的底边长___．
3．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”，写出它的逆命题：_ ，该逆命题是 ____命题(填“真”或“假”)．
4．如图所示，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC；④OE＝OD.从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是________(填序号)．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线．
若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为________．

6．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．

三、解答题
1．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，将△ABC沿直线AD折叠，使点C落在C′的位置上，连结BC′，如果BC＝4，求BC′的长．

如图所示，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE＝eq \f(1,4)BC.AF与EF之间有何位置关系？请说明理由．

如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．

等腰三角形一边上的高线与一腰的夹角是40°，求此三角形三个角的度数．
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
(1)如图所示，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)如果E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

如图①所示，已知C是AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形．
(1)△ACN与△MCB全等吗？为什么？
(2)请说明CE＝CF；
(3)若△CBN绕着点C旋转一定的角度(如图②所示)，则上述两个结论还成立吗？(此问只需写出判断结论，不要求说理)

等腰三角形
等边三角形
边的性质
两腰相等
三条边都相等
角的性质
两底角相等
三个角都相等，
都等于60°
轴对称性
是轴对称图形，
有1条对称轴
是轴对称图形，
有3条对称轴
重要线段
顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合(三线合一)，它所在的直线是等腰三角形的对称轴
每一条边上的中线、高线和所对角的平分线都互相重合，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴