初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质综合训练题

22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质

一、单选题

1．函数y=x2-x+m（m为常数）的图象如图，如果x=a时，y＜0；那么x=a-1时，函数值(           )

A．y＜0             B．0＜y＜m              C．y=m               D．y＞m

【答案】D

【解析】∵函数y=x2-x+m（m为常数）对称轴是x=,0< <

∴由对称性得：<<<1

∵当x=a时，y<0，

∴a的范围是<a<<，

∴a−1<0，

∵当x<时y随x的增大而减小，

当x=0时函数值是m.

∴当x=a−1<0时，函数值y一定大于m.

故选D.

2．已知函数的图像经过点（0，3），c的值是       （       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】解：把代入函数解析式得：

故选

3．二次函数的对称轴是                       （       ）

A．直线x=-2 B．直线x=-4

C．直线x=1 D．直线x=-1

【答案】C

【解析】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x＋2）（x−4），

∴此抛物线与x轴的交点为，（−2，0），（4，0）

∴其对称轴为：直线x＝＝1．

故选：C．

4．在同一坐标系内，函数与的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】A、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，则a＜0，

∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项错误；

B、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，

∴a＞0，−a＜0，即a＞0

∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项正确；

C、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，∴a＜0，−a＜0，a无解，故错误；

D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，则a＜0，

∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项错误；

故选：B．

5．当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣（x+3）2+2的取值范围为（　　）

A．﹣23≤y≤1 B．﹣23≤y≤2 C．﹣7≤y≤1 D．﹣34≤y≤2

【答案】B

【解析】∵a=−1，

∴抛物线的开口向下，故有最大值，

∵对称轴x=−3，

∴当x=−3时y最大为2，

当x=2时y最小为−23，

∴函数y的取值范围为

故选:B.

6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a＜0 B．c＞0 C．2a=﹣b D．b＞a

【答案】D

【解析】解：A选项：由抛物线开口向上知a＞0，此选项错误；

B选项：由抛物线与y轴交于负半轴知c＜0，此选项错误；

C选项：由抛物线的对称轴知，此选项错误；

D选项：由b=2a且a＞0知b＞a，此选项正确；

故选：D．

7．在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】A：由函数的图像可知，即函数开口应向上，与图像不符，故A错误；

B、由函数的图像可知，函数的对称轴，则对称轴应在轴的左侧与图像不符，故B错误；

C：由函数的图像可知，即函数开口应向下，与图像不符，故C错误；

D：由函数的图像可知，即函数开口向上，函数的对称轴，则对称轴应在轴的左侧与图像相符，故D正确；

故选：D．

8．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，点A(b，c)在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】∵对称轴在y轴右边，

∴＞，

∴＞，

∵抛物线与y轴的交点在负半轴，

∴＜，

∴点在第四象限．

故选：D．

9．已知二次函数y＝x2﹣2x＋2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（    ）

A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2

【答案】D

【解析】由二次函数y＝x2﹣2x＋2= y＝知：

二次函数的对称轴是直线x=1，

∵二次函数的图象开口向上，

∴当x=1时，y有最小值，最小值为1，

∵当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1，

又当x=0时，y=2，

∴1≤a≤2，

故选：D.

10．已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4

【答案】B

【解析】解：抛物线经过和两点，

可知函数的对称轴，

，

；

，

将点代入函数解析式，可得；

故选B．

二、填空题

11．若抛物线的开口向下，写出一个的可能值________.

【答案】-3(负数均可)

【解析】解：根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，图象开口向下．所以a的值可以是-3.．
故答案为：-3(负数均可)．

12．二次函数的开口___________，对称轴是______________，顶点是_________________．

【答案】向上    直线x=-1    （-1，-1）   

【解析】解：，

∵，∴开口向上，

对称轴：直线，

顶点坐标：．

故答案是：向上；直线；．

13．抛物线是将抛物线向___平移___个单位得到的．

【答案】右    3   

【解析】解：∵抛物线向左平移3个单位可得抛物线，

∴抛物线是将抛物线向右平移3个单位得到的．

故答案为：右，3．

14．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为________________．

【答案】

【解析】解：依题意，设函数解析式为

∵当自变量时，函数值

∴，解得

∴函数的解析式为

故答案为：．

15．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是_____．

【答案】﹣3

【解析】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6经过（0，0），

∴m2+m﹣6＝0，

解得m1＝2，m2＝﹣3，

∵抛物线开口向下，

∴m﹣2＜0，

解得m＜2，

∴m＝﹣3．

故答案为：﹣3．

16．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．

【答案】．

【解析】设二次函数的解析式为，

将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：

，解得：．

则二次函数解析式为．

故答案为：．

三、解答题

17．利用配方法把二次函数y＝﹣x2+4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．

【答案】

【解析】解：

所以把二次函数化成的形式为：．

18．指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）

（2）

【答案】（1）开口向上；对称轴是直线x=﹣1；顶点坐标是（﹣1，﹣）；（2）开口向下；对称轴是直线x=﹣；顶点坐标是（﹣，）

【解析】（1）由知，﹥0，

∴二次函数图象的开口向上，图像与x轴的交点是（2，0）（-4，0），

∴对称轴是直线x=﹣1，

当x=﹣1时，，

∴顶点坐标是（﹣1，﹣）

(2)∵a=﹣3﹤0，

∴二次函数图象的开口向下，

将化为顶点式为： ，

∴对称轴为直线x=，顶点坐标是（﹣，），

19．已知下列条件，求二次函数的解析式．

（1）经过(1，0)，(0，2)，(2，3)三点；

（2）图象与x轴一交点为(﹣1，0)，顶点(1，4)．

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）y＝﹣(x﹣1)2+4

【解析】解：（1）设所求二次函数是y＝ax2+bx+c，

把（1，0），（0，2），（2，3）代入二次函数，得

，

解得，

∴所求二次函数解析式是y＝；

（2）设所求二次函数解析式是y＝a（x﹣1）2+4， 把（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+4中，得,

a＝﹣1，

∴所求二次函数解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4．

20．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若OA=2OC，判断a、b、c之间的关系．

【答案】2ac=b﹣．

【解析】解：设C点坐标为，

∵OA=2OC，

∴，

把A、C点坐标代入解析式得，

，可得4ac2﹣2bc+c=0，

由图象可知c≠0，两边同时除以c得，

∴4ac﹣2b+1=0，

∴2ac=b﹣．

21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

（1）直接写出表格当中的m值：_____________

（2）求这个二次函数的表达式；

（3）在图中画出这个二次函数的图象．

【答案】（1）0；（2）；（3）图象见解析

【解析】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为，

抛物线的对称轴为直线，

关于直线的对称点是，

，

故答案为：0；

（2）设二次函数的表达式为，

将点代入可得，

解得，

∴二次函数的表达式为；

（3）函数图象如图所示：

．

22．已知二次函数y＝x2﹣4x＋3，

（1）画出它的图象，并求出它的的顶点坐标和对称轴；

（2）当函数值y＞0时，观察图象，直接写出自变量x的取值范围．

【答案】（1）画图见解析；顶点坐标为(2，﹣1)，对称轴为x＝2

（2）x＜1或x＞3

【解析】解：（1）y=x2-4x+3=(x-2)2-1，

故抛物线的顶点坐标为(2，-1)，对称轴为x=2；

令y=x2-4x+3=0，解得：x=1或3，

∴抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)；

当x=0时，y=3，故抛物线和y轴的交点坐标为(0，3)，该点关于抛物线对称轴的对称点为(4，3)，

根据上述五点描点连线绘制如下函数图象：

（2）观察图象知，使y＞0时，x的取值范围是x＜1或x＞3．

23．如图，利用函数的图象，直接回答：

（1）方程的解是　　　　　　；

（2）当x___________时，y随x的增大而减小；

（3）当满足　　　　　　时，函数值大于0；

（4）当时，的取值范围是　　　　　　　　．

【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）

【解析】解：（1）抛物线与轴的交点坐标为，，

方程的解是，；

（2）∵，

∴抛物线的对称轴是，并抛物线的开口向上，

∴当时， y随x的增大而减小

（3）抛物线与轴的交点坐标为，

∴当或时，；

（4）当时，；当时，，

，

当时，有最小值，

当时，的取值范围为．

24．如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；

（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．

【答案】（1）；（2）对称轴为x=4；顶点坐标为（4，2）；（3）6．

【解析】解：（1）把A（2，0）、B（0，-6）代入

得：

解得：

∴这个二次函数的解析式为；

（2）∵，b=4，c=-6

∴对称轴 ，

，

顶点坐标为（4，2）；

（3）∵该抛物线对称轴为直线x=4，

 ∴点C的坐标为（4，0）

∴AC=OC-OA=4-2=2，

∴．