数学第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明导学案

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1. 比例线段的有关概念：
b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：

3. 平行线分线段成比例定理：
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。


②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
③三边对应成比例，两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
5. 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
知识详解
知识点一：平行线成比例的应用
例1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。
练习1．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c的第四比例项d=_______。
练习2.若线段a=4, b=6, 则a, b的比例中项为________。
例2.已知：===, 则 =______，=_________。
练习2.已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则4a+2b-3c=________。
练习3.若=, 则 x=_______。
变式练习：
4、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y＝( )
A. B. C. D.
5、（2010•鞍山）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ）
A、2：1B、1：C、3：2D、2：3
6、（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A、 QUOTE B、 QUOTE C、 QUOTE D、 QUOTE
7、（2007•襄阳）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（ ）
A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3 C、BC•DE=8D、BC•DE=6
8、（2006•湘西州）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则 QUOTE 的值是（ ）
A、3：4B、4：3 C、3：7D、7：3
A
C
E
D
B
①
E
D
C
B
A
②
A
③
C
B
D
E
知识点二：相似三角形的判定
相似三角形的几种基本图形：

D
B
C
A
⑥
A
C
B
④
D
A
C
D
B
P
⑤
图①为“A”型图，条件是DE∥BC，基本结论是△ADE∽△ABC；
图②为“X”型图，条件是ED∥BC，基本结论是△ADE∽△ABC；
图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；
图⑥是“母子”型图，条件是CD为斜边上的高，基本结论是△ACD∽△ABC∽△CBD。
典型例题
作辅助线构造“A”“X”型
A
B
C
D
E
F
例1、如图，，求。（试用多种方法解）
方法一：
A
B
C
D
E
F
方法二：
方法三：
A
B
C
D
E
F
例2、如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=AD，CE交AB于点F，若AF=1.2cm，求AB的长。
例3、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，过O点的直线EF∥BC，若AD=9，BC=12。求EF的长.
例4、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，O为对角线AC、BD的交点，过B作BE∥CD交CA延长线于E。求证：OC2=OA·OE
例5、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE=EF=BF，DF、DB与CE分别交于G、H。
求EG∶GH∶HC．
巩固练习与能力拓展
1.已知：如图，△ACD中，EB∥CD交AC、AD于B、E，AG交BE、CD于F、G。
2.已知：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥BC于E，MF⊥AD于F．
3.已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，DE∥BC交AC于E，EF⊥AB于F。求证：AD2=AF·AB
4.已知：如图，在△ABC中，AD为中线，F为AB上一点，CF交AD于E．求证：
5.已知：如图， ABCD中，F是AB延长线上任一点，连结DF交BC于E点。
求证：BC∶BE=（AB∶BF）+1
变式练习
已知：如图，△ABC中，AE=CE，BC=CD。求证：ED=3EF
已知：如图，在△ABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm。求AB、AC的长.
3. 如图，已知，ΔABC 中，DE∥BC，DF∥AC，求证：

知识点三：相似三角形高之比，中线之比，角平分线之比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
例1、如图，在Rt△ABC内有三个内接正方形，DF=9cm，GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ。
例2、如图，在△ABC中，EF∥BC，且EF=BC=2cm，△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长。
例3、如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分，且DE∥FG∥BC。求DE：FG：BC。
例4、如图，矩形FGHN内接于△ABC，F、G在BC上，N、H分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=8cm，