初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件学案及答案

这是一份初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件学案及答案，共18页。
目 录

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2013年上海市中考第24题
例2 2012年苏州市中考第29题
例3 2012年黄冈市中考第25题
例4 2010年义乌市中考第24题
例5 2009年临沂市中考第26题
例6 2008年苏州市中考第29题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
例2 2012年扬州市中考第27题
例3 2012年临沂市中考第26题
例4 2011年湖州市中考第24题
例5 2011年盐城市中考第28题
例6 2010年南通市中考第27题
例7 2009年江西省中考第25题

1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2013年山西省中考第26题
例2 2012年广州市中考第24题
例3 2012年杭州市中考第22题
例4 2011年浙江省中考第23题
例5 2010年北京市中考第24题
例6 2009年嘉兴市中考第24题
例7 2008年河南省中考第23题

1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题
例2 2012年福州市中考第21题
例3 2012年烟台市中考第26题
例4 2011年上海市中考第24题
例5 2011年江西省中考第24题
例6 2010年山西省中考第26题
例7 2009年江西省中考第24题
1.5 因动点产生的梯形问题
例1 2012年上海市松江中考模拟第24题
例2 2012年衢州市中考第24题
例4 2011年义乌市中考第24题
例5 2010年杭州市中考第24题
例7 2009年广州市中考第25题
1.6 因动点产生的面积问题
例1 2013年苏州市中考第29题
例2 2012年菏泽市中考第21题
例3 2012年河南省中考第23题
例4 2011年南通市中考第28题
例5 2010年广州市中考第25题
例6 2010年扬州市中考第28题
例7 2009年兰州市中考第29题
1.7 因动点产生的相切问题
例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题
例2 2012年河北省中考第25题
例3 2012年无锡市中考第28题
1.8 因动点产生的线段和差问题
例1 2013年天津市中考第25题
例2 2012年滨州市中考第24题
例3 2012年山西省中考第26题

第二部分 图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2013年宁波市中考第26题
例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 2012年连云港市中考第26题
例4 2010年上海市中考第25题

2.2 由面积公式产生的函数关系问题
例1 2013年菏泽市中考第21题
例2 2012年广东省中考第22题
例3 2012年河北省中考第26题
例4 2011年淮安市中考第28题
例5 2011年山西省中考第26题
例6 2011年重庆市中考第26题

第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 2013年南京市中考第26题
例2 2013年南昌市中考第25题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
例2 2013年江西省中考第24题













第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．
请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

思路点拨
1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．
2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．
3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．
满分解答
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
所以AH＝1，OH＝．所以A．
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，
设y＝ax(x－2)，代入点A，可得． 图2
所以抛物线的表达式为．
（2）由，
得抛物线的顶点M的坐标为．所以．
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
（3）由A、B(2,0)、M，
得，，．
所以∠ABO＝30°，．
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图3，当时，．此时C(4,0)．
②如图4，当时，．此时C(8,0)．

图3 图4

考点伸展
在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．
如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．

图5



例2 2012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．

思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )．
（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．
因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．
如图3，联结OP．
所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．
解得．所以点P的坐标为()．

图2 图3
（3）由，得A(1, 0)，OA＝1．
①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．
当，即时，△BQA∽△QOA．
所以．解得．所以符合题意的点Q为()．
②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。
因此△OCQ∽△QOA．
当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．
所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．

图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．


例3 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．

思路点拨
1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．
满分解答
（1）将M(2, 2)代入，得．解得m＝4．
（2）当m＝4时，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．
所以S△BCE＝．
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
设对称轴与x轴的交点为P，那么．
因此．解得．所以点H的坐标为．
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为，由，得．
解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
由，得．所以．
由，得．
整理，得0＝16．此方程无解．

图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．
解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．
由，得．解得．
综合①、②，符合题意的m为．
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．


例4 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．


图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．

思路点拨
1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．
（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．
当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于，，所以．解得．



图3 图4

考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．


例5 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．

思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．
（2）设点P的坐标为．
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．
如果，那么．解得不合题意．
如果，那么．解得．
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得不合题意．
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或．



图2 图3 图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．
因此．
当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．

图5 图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n），那么
．
由于，所以．

例6 2008年苏州市中考第29题


图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08苏州29”，拖动表示a的点在y轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点E1和E3时，直线NE1、NE3和直线AB交于同一个点G，此时△POB∽△PGN．当抛物线经过点E2和E4时，直线NE2、NE4和直线AB交于同一个点G，可以体验到，这个点G在点N右侧较远处．
思路点拨
1．求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值．
2．以DN为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a．
3．当E在x轴上方时，∠GNP＝45°，△POB∽△PGN，把转化为．
4．当E在x轴下方时，通过估算得到大于10．
满分解答
（1），，．
（2）由抛物线的解析式，得
点M的坐标为，点N的坐标为．
因此MN的中点D的坐标为（2，0），DN＝3．
因为△AOB是等腰直角三角形，如果△DNE与△AOB相似，那么△DNE也是等腰直角三角形．
①如图2，如果DN为直角边，那么点E的坐标为E1（2，3）或E2（2，－3）．
将E1（2，3）代入，求得．
此时抛物线的解析式为．
将E2（2，－3）代入，求得．
此时抛物线的解析式为．
②如果DN为斜边，那么点E的坐标为E3或E4．
将E3代入，求得．
此时抛物线的解析式为．
将E4代入，求得．
此时抛物线的解析式为．

图2 图3
对于点E为E1（2，3）和E3，直线NE是相同的，∠ENP＝45°．
又∠OBP＝45°，∠P＝∠P，所以△POB∽△PGN．
因此．
对于点E为E2（2，－3）和E4，直线NE是相同的．
此时点G在直线的右侧，．
又，所以．
考点伸展
在本题情景下，怎样计算PB的长？
如图3，作AF⊥AB交OP于F，那么△OBC≌△OAF，OF＝OC＝，PF＝，
PA＝，所以．