北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明学案

这是一份北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明学案，共22页。

知识点
相似三角形的判定
平行定理：
1．定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
常见题模型如下：
2．方法点播：前三种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系．
判定定理：
1．判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）
常见题模型如下：
2．判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，三角形相似．（如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）
3．判定定理3：三条边对应成比例，两三角形相似．（如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似）
4．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
5．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
6. 如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
核心考点
前言2
例题精讲
单选题
1、（2014初三上期末顺义区）如图，D是△ABC的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定与△DBA相似的是（ ）
B

D
C
A
A．
B．
C．
D．
2、（2013初三上期中大兴区）下列叙述正确的是（ ）
A．所有的直角三角形都相似
B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的矩形都相似
3、如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，给出下列条件：
①；②；③；④．
其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4、下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）
A
B
C
D
A．A图
B．B图
C．C图
D．D图
5、如图所示，中，，于D，若，，则DC的长度是（ ）
B
D
A
C
A．
B．
C．
D．
6、如图，在边长为9的正方形ABCD中，F为AB上一点，连接CF，过点F作，交AD于点E，若，则AE等于
A
B
F
E
D
C
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
7、如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对
B．6对
C．4对
D．2对
填空题
8、如图，点D，E分别在的边AB，AC上，且，若，，，则AE的长为_______
A
B
C
F
D
9、等边的边长为3，P为BC上一点，且，D为AC上一点，若，则CD的长为_______
A
B
C
D
P
10、如图，已知中，，，过直角顶点C作，垂足为，再过作，垂足为，过作，垂足为，再过作，垂足为，…，这样一直做下去，得到了一组线段，，，…，则_____，_____。（其中n为正整数）
B
C
A
11、如图，AB是的直径，弦，F是弦BC的中点，．若动点E以的速度从A点出发沿着方向运动，设运动时间为t（秒），连结EF，当t值为________秒时，是直角三角形．
A
B
C
E
F
O
解答题
12、（2014初三上期末顺义区）如图，在中，，，于．证：△ABD∽△CDE．
A
13、（2012初三上期末朝阳区）如图，□ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求AF的长．
14、如图，梯形ABCD中，，，E为BC上一点，且。若，，，求AB的长。
A
B
C
D
E
15、已知:如图（1），等边中，D是AB边上的动点(点D与点B不重合)，以CD
为一边，向上作等边，连结AE．
（1）求证：；
（2）将（1）中等边的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作改成相似于如图（2）．请问：是否仍有？证明你的结论．
A
E
B
C
D
D
B
C
A
E
图1
图2
16、已知：如图，在中，点D是BC中点，点E是AC中点，且，，BE，AD相交于点G，过点B作BF//AC交AD的延长线于点F，．
（1）求AE的长；
（2）求的值．
A
E
B
F
C
G
D
17、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长及的值．
A
B
C
D
O
E
18、如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且，，．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的长．
19、如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若cm， cm，
（1），求矩形PQMN的周长；
（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？
20、如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点G在AC边上，点F在AB边上，cm，cm，四边形PQGF是正方形．
（1）△AFG与△ABC相似的吗？为什么？
（2）的值．
21、如图，在△ABC中，已知，，且∠B=∠DEF（足够大）与△ABC重叠在一起，即∠B与∠DEF重合，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与点B，C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于点M．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）当BE为何值时，？
（3）当BE为何值时，？
随堂练习
1、（2014初三上期中大兴区）如图，已知在与中，，，，，求证：．
2、(2012初三上期末大兴区)已知：如图，将正方形ABCD纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合)，点B落在点Q处，折痕为EF，PQ与BC交于点G．
求证：△PCG∽△EDP.
3、已知：如图，E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且，．求证：．
2
1
A
B
C
D
E
4、如图所示，如果分别在上，且．
求证：．
5、（2012初三上期末燕山区）已知正方形内接于（如图所示），若的面积为，，求该正方形的边长．
6、（2012四川凉山中考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
课后作业
1、（2012初三上期末门头沟）已知如图，在中，，过点作于点，点为上一点，过点作的垂线，交的延长线于点，与交于点．求证：
A
E
C
B
D
F
G
2、如图，等腰△MBC中，，点A、P分别在MB、BC、上，作．PE交CM于E．
（1）求证：；
（2）若，，，，求△ABP的面积．
3、如图1，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转，得到．联结、，设和的面积分别为和。
（1）直接写出_____；
（2）如图2，当旋转角为时，与的比值是否发生变化，若不变请证明；若改变，写出变化后的比值（可用含的代数式表示）．
C
A
B
C
A
B
B
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图1
图2
4、已知：如图，中，，，D为BC边上一点，．
（1）求证：；
（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与相似的三角形，并直接写出DE的长．
A
B
C
D
5、如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
6、（2011四川资阳中考）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；
（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．