初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质学案

一、图形的相似

一、            比例的性质

1．比例的基本性质：；

2．反比定理：；
3．更比定理：(或)；
4．合比定理：；
5．分比定理：；
6．合分比定理：；
7．等比定理：.

二、            成比例线段

1．比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的项：在比例式（）中，称为比例外项，称为比例内项，叫做的第四比例项．
三条线段（）中，叫做和的比例中项．
3．黄金分割：如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比．

三、            平行线分线段成比例定理
1．定理；三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
4．三角形一边的平行线性质：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为．

当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有．

二、相似三角形的概念及性质

一、            相似的概念
1．相似形：具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．
2．相似图形的特性：两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．
3．相似比：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

二、     相似三角形的概念
1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．

2．相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．

三、            相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等
如图，与相似，则有．

2．相似三角形的对应边成比例
如图，与相似，则有（为相似比）．

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
对应中线：与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）．

对应高线：与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．

对应角平分线：与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．

4．相似三角形周长的比等于相似比．
如图，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．

5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得．

三、位似

位似
1．位似图形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形．
(1)位似中心：每组对应点所在的直线都经过的那一点，叫做位似中心．
(2)位似比：位似图形是相似图形，所以有相似比，这个相似比就是位似比．
说明：位似图形必须满足的两个条件：
（1）两个图形是相似图形；

（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．
2．位似图形的性质：位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

如图：

3．图形的相似与位似图形的区别与联系：
   两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；
   两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．

一、 比例与比例线段

1、下列四组线段中，是成比例线段的是（  ）

A．，，，

B．，，，

C．，，，

D．，，，

2、(2012初三上期末房山区)若，则下列各式中正确的式子是（  ）

A．

B．

C．

D．

3、（2013初三上期末顺义区）如图，△ABC中，DE∥BC，，，则AC的长是（  ）

A．

B．

C．

D．

4、如图，已知在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，那么下面各等式中，错误的有（  ）

A．

B．

C．

D．

5、（2014初三上期末通州区）已知，那么________________．

6、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若，则的值为___________

7、已知：线段a、b、c，且．

（1）求的值．

（2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．

8、如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知，，，，求EG、FG的长．

二、 相似三角形的性质

9、(2013初三上期中第八十中学)在下面的图形中，相似的一组是（    ）

A．A图

B．B图

C．C图

D．D图

10、下列说法中正确的是（  ）

①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；

②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；

③有一个角对应相等的平行四边形都相似；

④有一个角对应相等的菱形都相似．

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

11、（2014初三上期末朝阳区）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比是（）

A．1:3

B．1:4

C．1:9

D．1:16

12、（2013初三上期末西城区）三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示.若cm，c则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（              ）

A．

B．

C．

D．

13、在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为________m．

14、如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取和各边中点，连接成正六角星形，如图(2)中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形的面积为___________.

15、如图，小华在地面上放置一个平面镜E，来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离，镜子与小华的距离时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端A．已知小华的眼睛距地面的高度，则铁塔AB的高度是__________米．

16、数学课上，老师要求小明同学作，且，小明的作法是：

（1）作；

（2）过点作，过点作，它们相交于点；就是满足条件的三角形（如图1）

解答下列问题：

①若的周长为10，根据小明的作法，的周长是多少？

②已知四边形ABCD，请你在图2的右侧作一个四边形，使，且满足(不写画法，保留作图痕迹)．

17、如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．请你在图中画出一个与相似的，使得的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，且与的相似比为．

18、如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，过点E作交边AB于点F，交CB的延长线于点G，且．

（1）求证：；

（2）若cm，矩形ABCD的周长为32cm，求的长．

三、 位似

19、（2012初三上期末西城区）如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形，A，B，C的对应点分别为，，，与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分别为（  ）

A．2，

B．4，

C．2，

D．2，

20、（2015初三上期末西城区）△ABC与△是位似图形，且△ABC与△的位似比是，如果△ABC的面积是3，那么△的面积等于（  ）

A．3

B．6

C．9

D．12

21、（2013初三上期中北京市第四中学）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．

22、(2013初三上期中第八十中学)如图，△ABC的顶点坐标分别为，，．
（1）在第四象限内画出△，使△与△ABC关于点O位似，且△与△ABC的相似比为；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转后的△．

23、（2012初三上期末朝阳区）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点，．

（1）若点 ，则A′的坐标为_______；

（2）若△ABC的面积为m，则的面积________．

1、（2014初三上期中大兴区）已知，则下列比例式成立的是（  ）

A．

B．

C．

D．

2、（2013中考一模燕山区）如图，在平行四边形ABCD中，，点E在边AD上，且，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

3、（2013初三上期中北京市第三十九中学）如图，△ABC在方格纸中

（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出B点坐标；

（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；

（3）计算△A′B′C′的面积S．

4、如图，，，，的面积是5，求的面积．

5、如图，已知每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．图中的是一个格点三角形．

（1）请你在图中画出格点，使得，且与的相似比为；

（2）写出、两点的坐标．

6、（2014初三上期末朝阳区）如图，在平面直角坐标系中，，．

（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；

（2）在（1）的条件下，写出点A的对应点C的坐标为_______，点B的对应点D的坐标为________．

1、（2012初三上期末丰台区）已知，则下列比例式成立的是（  ）

A．

B．

C．

D．

2、（2012初二下期末交大附中）如图，在中，，，，，则的长为___________.

3、（2013初三上期末延庆区）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．请你在图中画出一个与△ABC相似的△DEF，使得△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，且△ABC与△DEF的相似比为1∶2．

4、如图，在中，，点D在AC上，于点E，若，，，求AD的长．

5、如图，中，点D在AB上，．点E在BC上，．点F在AC上，．已知阴影部分（即）的面积是．则的面积为_______．(写出简要推理)

6、（2012初三上期中西城区）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为．

（1）把△向左平移8格后得到△，画出△的图形并直接写出点的坐标为____________；

（2）把△绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△，画出△的图形并直接写出点的坐标为____________；

（3）把△以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△．