初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试学案

这是一份初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试学案，共6页。学案主要包含了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定，选择题等内容，欢迎下载使用。

知识详解
知识点一：平行线成比例的应用
例1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。
练习1．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c的第四比例项d=_______。
练习2.若线段a=4, b=6, 则a, b的比例中项为________。
例2.已知：===, 则 =______，=_________。
练习2.已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则4a+2b-3c=________。
练习3.若=, 则 x=_______。
变式练习：
4、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y＝( )
A. B. C. D.
5、（2010•鞍山）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ）
A、2：1B、1：C、3：2D、2：3
6、（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A、 QUOTE B、 QUOTE C、 QUOTE D、 QUOTE
7、（2007•襄阳）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（ ）
A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3 C、BC•DE=8D、BC•DE=6
8、（2006•湘西州）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则 QUOTE 的值是（ ）
A、3：4B、4：3 C、3：7D、7：3
知识点二：相似三角形的判定
知识点二、平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。


②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
EQ \\ac(○,4)推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．
推论 EQ \\ac(○,4)的基本图形有三种情况，如图其符号语言：
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE；
知识点三、相似三角形的判定
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．
符号语言：

拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题精讲

例题1．如图，直线DE分别与△ABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E，由ED∥BC可以推出吗？请说明理由。（用两种方法说明）
例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.
求证：（1）；（2）；（3）
例题3．如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则吗？说说你的理由.
例题4．如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BE⊥CD于E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C
求证：△ABF∽△EAD；
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长。
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一、选择题
1．如图，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（ ）
A． 3对 B． 4对 C． 5对 D． 6对
2．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D． .
3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）
A．ΔADE∽ΔAEF B.ΔECF∽ΔAEF
C.ΔADE∽ΔECF D.ΔAEF∽ΔABF
4、如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（ ）
A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2
（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）
5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
(5题图) (6题图) (7题图) ( 8题图)
6.ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（ ）
A.2∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶2
7.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
8.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
9.下列说法：其中正确的是( )
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的等边三角形都相似；
③所有等腰直角三角形都相似；
④所有的直角三角形都相似.
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
二、解答题
1、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.
2.如图，在梯形ABCD中，AD⊥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.
(1)ΔABC与ΔDCB相似吗？请说明理由.
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.
3.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，
Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？
4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB与F，试判定△BAE与△ACE是否相似，并说明理由。
5.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ⊥BD？
6.已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2.则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由.
7.如图，CD是RtΔABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F.
AC•AE=AF•AB吗？说明理由.
8.如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则吗？说说你的理由.
9.已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x ，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去量(如图)，若OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7cm.求此零件的厚度x.