北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件学案

1. 比例线段的有关概念：

    b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

  2. 比例性质：

  3. 平行线分线段成比例定理：

    ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

知识点一：平行线成比例的应用

例1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。
练习1．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c的第四比例项d=_______。
练习2.若线段a=4, b=6, 则a, b的比例中项为________。

例2.已知：===, 则 =______，=_________。
练习2.已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则4a+2b-3c=________。

练习3.若=, 则 x=_______。

变式练习：

4、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y＝(    )

         A.         B.               C.               D.

5、（2010•鞍山）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（　　）

A、2：1  B、1： C、3：2  D、2：3

6、（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A、  B、 C、  D、

7、（2007•襄阳）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（　　）

A、BC：DE=1：2  B、BC：DE=2：3    C、BC•DE=8  D、BC•DE=6

8、（2006•湘西州）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（　　）

        A、3：4  B、4：3     C、3：7  D、7：3

知识点二：相似三角形的判定

知识点二、平行线分线段成比例定理

    ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

    ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

    推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．

　　推论的基本图形有三种情况，如图其符号语言：

∵DE∥BC，

∴△ABC∽△ADE；

知识点三、相似三角形的判定

　　判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．

 符号语言： 

    拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

     （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

例题1．如图，直线DE分别与△ABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E，由ED∥BC可以推出吗？请说明理由。（用两种方法说明）

例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.

求证：（1）；（2）；（3）

例题3．如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则吗？说说你的理由.

例题4．如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BE⊥CD于E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C

（1）          求证：△ABF∽△EAD；

（2）          若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；

（3）          在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长。

一、选择题

1．如图，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（   ）

A．  3对     B．  4对    C．  5对       D．  6对

2．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（     ）

A． B． C．   D． .

3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（     ）

A．ΔADE∽ΔAEF    B.ΔECF∽ΔAEF  

C.ΔADE∽ΔECF     D.ΔAEF∽ΔABF

4、如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（     ）

A.5∶2     B.4∶1     C.2∶1     D.3∶2

（1题图）               （2题图）         （3题图）             （4题图）

5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（     ）         

 A.1对     B.2对     C.3对     D.4对

(5题图)              (6题图)            (7题图)           ( 8题图)

6.ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（     ）

A.2∶1     B.1∶2     C.2∶3     D.3∶2

7.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（     ）

A.1条     B.2条     C.3条     D.4条

8.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（     ）

A.     B.     C.     D.

9.下列说法：其中正确的是(     )

①所有的等腰三角形都相似；

②所有的等边三角形都相似；

③所有等腰直角三角形都相似；

④所有的直角三角形都相似.

A.①②          B.③④          C.①④            D.②③

二、解答题

1、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.

2.如图，在梯形ABCD中，AD⊥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.

(1)ΔABC与ΔDCB相似吗？请说明理由.

(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.

3.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，

Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？

4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB与F，试判定△BAE与△ACE是否相似，并说明理由。

5.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ⊥BD？

   6.已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2.则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由.

7.如图，CD是RtΔABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F.

AC•AE=AF•AB吗？说明理由.

8.如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则吗？说说你的理由.

9.已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x ，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去量(如图)，若OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7cm.求此零件的厚度x.