高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质教案及反思

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质教案及反思，共14页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，知识点讲解，题型讲解等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且=-，则既是奇函数，又是偶函数
【知识点讲解】
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？
答案 因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．
思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？
答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然．
(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作．
函数奇偶性的概念：
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
思考 如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？
答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)
与f(x)的关系．而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了．所以该函数既非奇函数，也非偶函数．
一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
【题型讲解】
类型一 如何证明函数的奇偶性
例1 (1)证明f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)既非奇函数又非偶函数；
(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；
(3)证明f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)既是奇函数又是偶函数；
(4)证明f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，x0))是奇函数；
(5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数．
证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)既非奇函数又非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
(4)定义域为{x|x≠0}．
若x0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1，
∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x0，则－x0.
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练3 已知f(x)＝eq \f(x,x2＋1)在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减．试画出f(x)的图象，并指出其单调区间．
解 显然当x>0时，f(x)>0.
又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，
∴f(x)＝eq \f(x,x2＋1)为奇函数，其图象关于原点对称．
由此得f(x)＝eq \f(x,x2＋1)的图象如下．
由图可知f(x)＝eq \f(x,x2＋1)的增区间是[－1,1]，减区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)．
1．函数f(x)＝0(x∈R)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案 D
2．函数f(x)＝eq \f(1,x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案 A
3．函数f(x)＝x(－10，,－x1－x，x0，,0，x＝0，,x2＋mx，x－1，,a－2≤1，))
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．