数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数教学设计

这是一份数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数教学设计，共10页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，要点讲解，题型讲解等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
【要点讲解】
知识点一 n次方根，n次根式
思考 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？
答案 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±eq \r(3).
一般地，有：(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
(3)根式
式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二 根式的性质
思考 我们已经知道若x2＝3，则x＝±eq \r(3)，那么(eq \r(3))2等于什么？eq \r(32)呢？eq \r(－32)呢？
答案 把x＝eq \r(3)代入方程x2＝3，有(eq \r(3))2＝3；
eq \r(32)＝eq \r(9)，eq \r(9)代表9的两个平方根中正的那一个，即3.
eq \r(－32)＝eq \r(9)＝3.
一般地，有：(1)eq \r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)；
(3)eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0,－aab)；
(3)(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3).
解 (1)eq \r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.
(2)eq \r(a－b2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思与感悟 n为奇数时eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n＝eq \r(n,an)＝a，a为任意实数均可；
n为偶数时，a≥0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n才有意义，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n＝a；
而a为任意实数eq \r(n,an)均有意义，且eq \r(n,an)＝|a|.
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1)eq \r(7,－27)；
(2)eq \r(4,3a－34)(a≤1)；
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4).
解 (1)eq \r(7,－27)＝－2.
(2)eq \r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))
类型三 有限制条件的根式的化简
例3 设－3