高中数学人教A版 (2019)必修第一册3.2 函数的基本性质教学设计

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册3.2 函数的基本性质教学设计，共28页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，知识点讲解，题型讲解等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；
3．学会运用单调性的定义求函数的最大（小）值。
【要点梳理】
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
【知识点讲解】
知识点一函数单调性
思考1 画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？
答案两函数的图象如下：
函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．
一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间．反之则为减函数，相应区间称为减区间．
思考2 用图象在某区间上上升(或下降)来描述函数单调性很直观，课本为什么还要用定义刻画单调性？
答案因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的．
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1说函数f(x)在区间D上是增函数.
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
知识点二函数的单调区间
思考我们已经知道f(x)＝x2的减区间为(－∞，0]，f(x)＝eq \f(1,x)的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？
答案 f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝eq \f(1,x)的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝eq \f(1,x)的定义域．
一般地，有下列常识：
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
【题型讲解】
类型一求单调区间并判断单调性
例1 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根
据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
(2)写出y＝x2－3|x|＋2的单调区间．
解 (1)y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．
(2)由f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3x＋2，x<0，,x2－3x＋2，x≥0，))画出草图：
∴f(x)在(－∞，－eq \f(3,2)]，[0，eq \f(3,2)]上递减，在[－eq \f(3,2)，0]，[eq \f(3,2)，＋∞)上递增．
反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 (1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
解 (1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．
(2)先画出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－x2－2x－3，－1≤x≤3))的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二证明单调性
例2 (1)物理学中的玻意耳定律p＝eq \f(k,V)(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之；
(2)已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．
证明 (1)根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V1＜V2，则
p(V1)－p(V2)＝eq \f(k,V1)－eq \f(k,V2)＝keq \f(V2－V1,V1V2).
由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0.
由V10.
又k>0，于是p(V1)－p(V2)>0，即p(V1)>p(V2)．
所以，函数p＝eq \f(k,V)，V∈(0，＋∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．
(2)方法一设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在R上是增函数．
方法二设x1>x2，则x1－x2>0，
从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是增函数．
反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1跟踪训练2 (1)求证：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0证明 (1)设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1＝(x1－x2)＋(eq \f(1,x1)－eq \f(1,x2))＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)
＝(x1－x2)(1－eq \f(1,x1x2))＝(x1－x2)(eq \f(x1x2－1,x1x2))．
∵1≤x1∴eq \f(x1x2－1,x1x2)>0，故(x1－x2)(eq \f(x1x2－1,x1x2))<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)在区间[1，＋∞)上是增函数．
(2)∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，
∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，
又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴f(x)＝eq \f(1,f－x)＞1.
∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，
∴0∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上单调递减．
类型三用单调性解不等式
例3 (1)已知函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，x1，x2∈(a，b)且f(x1)(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)(1)证明假设x1，x2∈(a，b)且x1≥x2.
则由f(x)在区间(a，b)上是增函数，得f(x1)≥f(x2)，与已知f(x1)∴x1(2)解根据(1)，f(1－a)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<1－a<1,－1<2a－1<1,1－a>2a－1))，解得0即所求a的取值范围是0反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．
跟踪训练3 在例3(2)中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)eq \f(2,3)，
∴所求a的取值范围是(eq \f(2,3)，＋∞).
1．已知函数f(x)＝－x2，则( )
A．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
B．f(x)是减函数
C．f(x)是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
答案 D
2．函数y＝eq \f(6,x)的减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 C
3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝eq \f(1,x)
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
答案 B
4．已知函数y＝f(x)满足：f(－2)>f(－1)，f(－1)A．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C．函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)
D．以上的三个结论都不正确
答案 D
5．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
答案 D
规律总结：
1．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．
2．对增函数的判断，当x1(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0.对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.
3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③eq \f(1,fx)单调递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商eq \f(fx1,fx2)与1比较．
一、选择题
1．函数y＝eq \f(1,x－1)的单调减区间是( )
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1} D．R
答案 A
解析单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( )
A.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.eq \f(x1－x2,fx1－fx2)>0
答案 C
解析因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x13．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B．[0，eq \f(1,2)]
C．[0，＋∞) D．(eq \f(1,2)，＋∞)
答案 B
解析 y＝|x|(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋x，x≥0，,x2－x，x<0.))
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在[0，eq \f(1,2)]上单调递增．故选B.
4．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是( )
A．y＝－f(x)在R上是减函数
B．y＝eq \f(1,fx)在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数
D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
答案 A
解析设x1所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．
其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B、C不成立，当a<0时，D不成立．
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有( )
A．f(a)C．f(a2＋a)f(a)
答案 D
解析因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，故函数值的大小关键在于自变量取值的大小．a与2a，a与a2的大小关系均不确定，故A，B都不对．
∵a2＋1－a＝(a－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0，∴a2＋1>a，
函数f(x)在R上单调递增，∴f(a2＋1)>f(a)．
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案 A
解析画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上递增，
故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3a，x≥0，,x2－ax＋1，x<0))是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [0，eq \f(1,3)]
解析当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤eq \f(1,3)，∴0≤a≤eq \f(1,3).
8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)答案 [1，eq \f(3,2))
解析由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，,x－2<1－x，))解得1≤x故满足条件的x的取值范围是1≤x9．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________________．
答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)
解析二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.
10．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．
答案 (－1,0)
解析依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋1>0，,\f(－k,k＋1)>0，))解得－1三、解答题
11．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间．
解 ∵y＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))
函数图象如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
12．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
(1)证明任设x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1＋2)－eq \f(x2,x2＋2)＝eq \f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)(2)解任设1f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1－a)－eq \f(x2,x2－a)＝eq \f(ax2－x1,x1－ax2－a).
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述013．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))与f(a2－a＋1)的大小．
解 a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0，
∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(a2－a＋1)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))).
第2课时函数的最大(小)值
学习目标
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；
2.会借助单调性求最值；
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．
4.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性；
知识点讲解
知识点一函数的最大(小)值
思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？为什么不是最小值？
答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
知识点二函数的最大(小)值的几何意义
思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．
答案 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．
一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.
题型讲解
类型一借助单调性求最值
例1 已知函数f(x)＝eq \f(2,x－1)(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
解设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,x1－1)－eq \f(2,x2－1)
＝eq \f(2[x2－1－x1－1],x1－1x2－1)
＝eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1).
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，函数y＝eq \f(2,x－1)在区间[2,6]上是减函数．
因此，函数y＝eq \f(2,x－1)在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即在x＝2时取得最大值，最大值是2，
在x＝6时取得最小值，最小值是eq \f(2,5).
反思与感悟 1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
3．若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先决出各区间上的最值，再从各区间的最大值中决出总冠军，函数的最大(小)值是整个值域范围内最大或最小的．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝eq \f(x,x2＋1)(x>0)，求函数的最大值和最小值．
解设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝eq \f(x1x\\al(2,2)＋1－x2x\\al(2,1)＋1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1)＝eq \f(x2－x1x2x1－1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1).
当x10，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上单调递增；
当1≤x10，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
∴f(x)max＝f(1)＝eq \f(1,2)，无最小值．
类型二求二次函数的最值
例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x－2eq \r(x)－3，求函数f(x)的最值；
(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)
解 (1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
(2)∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当eq \f(t＋t＋2,2)≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2－2t－3t≤0，,t2＋2t－3t>0，))
φ(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋2t－3t≤－1，,－4－11.))
(3)设eq \r(x)＝t(t≥0)，则x－2eq \r(x)－3＝t2－2t－3.
由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(4)作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图)．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：当t＝－eq \f(14.7,2×－4.9)＝1.5时，函数有最大值h＝eq \f(4×－4.9×18－14.72,4×－4.9)≈29.
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.
反思与感悟 1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
2．图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋eq \f(5,4)，x∈[0，eq \f(5,2)]．求水流喷出的高度h的最大值是多少？
解 (1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－4a，a<2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a>4.))
(3)由函数h＝－x2＋2x＋eq \f(5,4)，x∈[0，eq \f(5,2)]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．
对于函数h＝－x2＋2x＋eq \f(5,4)，x∈[0，eq \f(5,2)]，
当x＝1时，函数有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋eq \f(5,4)
＝eq \f(9,4)(m)．
于是水流喷出的最高高度是eq \f(9,4) m.
类型三函数最值的应用
例3 已知ax2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
解方法一若a<0，抛物线y＝ax2－x＋a开口向下，y不可能恒大于0.
若a＝0，ax2－x＋a＝－x<0，不合题意．
若a>0，y＝ax2－x＋a开口向上，且对称轴x＝eq \f(1,2a)>0，
要使ax2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝eq \f(4a2－1,4a)>0，解得a>eq \f(1,2).
综上，实数a的取值范围是(eq \f(1,2)，＋∞)．
方法二 ax2－x＋a>0可化为a>eq \f(x,x2＋1).
要使a>eq \f(x,x2＋1)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
只需a>(eq \f(x,x2＋1))max，
又(eq \f(x,x2＋1))max＝eq \f(1,2)，∴a>eq \f(1,2).
反思与感悟恒成立的不等式问题一般转化为最值问题来解决．
跟踪训练3 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
解 ∵x>0，∴ax2＋x≤1可化为a≤eq \f(1,x2)－eq \f(1,x).
要使a≤eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)对任意x∈(0,1]恒成立，
只需a≤(eq \f(1,x2)－eq \f(1,x))min.
设t＝eq \f(1,x)，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＝t2－t＝(t－eq \f(1,2))2－eq \f(1,4).
当t＝1时，(t2－t)min＝0，即x＝1时，(eq \f(1,x2)－eq \f(1,x))min＝0，
∴a≤0.
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
答案 C
2．函数y＝－x＋1在区间[eq \f(1,2)，2]上的最大值是( )
A．－eq \f(1,2) B．－1
C.eq \f(1,2) D．3
答案 C
3．函数f(x)＝eq \f(1,x)在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
答案 A
4．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分别为( )
A．4,1 B．4,0
C．1,0 D．以上都不对
答案 B
5．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1]，))则f(x)的最大值，最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案 A
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝eq \f(1,x).如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
一、选择题
1．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0))的值域是( )
A．R B．[－1,1]
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
答案 D
解析该函数的函数值只有三个．
2．函数y＝－x2＋2x－3(x<0)( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，也有最大值
D．无最大值，也无最小值
答案 D
解析抛物线y＝－x2＋2x－3开口向下，对称轴x＝1>0，故y＝－x2＋2x－3在(－∞，0)上为增函数，选D.
3．下列说法正确的是( )
A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b
B．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]
C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点
D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点
答案 A
解析值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对．f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错．若f(x)min＝a，由定义一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错．
4．函数y＝x＋eq \r(2x－1)( )
A．有最小值eq \f(1,2)，无最大值
B．有最大值eq \f(1,2)，无最小值
C．有最小值eq \f(1,2)，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
答案 A
解析 ∵y＝x＋eq \r(2x－1)在定义域[eq \f(1,2)，＋∞)上是增函数，∴y≥f(eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)，即函数最小值为eq \f(1,2)，无最大值，选A.
5．函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4，x≥3，,－2x＋2，－1≤x＜3，,4，x＜－1))的( )
A．最小值是0，最大值是4
B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4
D．没有最大值也没有最小值
答案 C
解析 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4， x≥3，,－2x＋2，－1≤x<3，,4， x<－1))的图象如下：
由图知，－4≤y≤4，C正确．
6．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[2,4]
C．(－∞，2] D．[0,2]
答案 B
解析由f(x)＝(x－2)2＋1知，
当x＝2时，f(x)的最小值为1，
当f(x)＝5，即x2－4x＋5＝5时，
解得x＝0或x＝4.依据图象，
得2≤m≤4，故选B.
二、填空题
7．若x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析由题意得x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－eq \f(3,2))2－eq \f(5,4)－m，
其对称轴为x＝eq \f(3,2)，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
8．函数y＝ax＋1(a＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
答案 1
解析 ∵a＞0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，∵ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
9．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(x)min＝________.
答案－11
解析依题意，知函数图象的对称轴为x＝－eq \f(－m,8)＝eq \f(m,8)＝－2，即m＝－16，f(x)min＝f(－2)＝－11.
10．下列函数：①y＝x＋|x|；②y＝x－|x|；③y＝x|x|；④y＝eq \f(x,|x|).其中有最小值的函数有________个．
答案 2
解析 y＝x＋|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x<0，,2x，x≥0，))ymin＝0.
y＝x－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x>0，,2x，x≤0，))无最小值．
y＝x|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>0，,－x2，x≤0，))无最小值．
y＝eq \f(x,|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,－1，x<0，))ymin＝－1.
三、解答题
11．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？
解设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,15－x≥0.))
∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－eq \f(19,2×－1)＝9.5时y值最大，
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
解 f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a＜0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1＜a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a＞2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
13．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋2x＋3,x)(x∈[2，＋∞))，
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
解 (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，
且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,x1x2)))，
∵x1又∵x1≥2，x2≥2，
∴x1x2>4,1－eq \f(3,x1x2)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝eq \f(11,2).
(2)∵f(x)的最小值为f(2)＝eq \f(11,2)，
∴f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，即a